Câu 6 (7 điểm). Ký hiệu ${\mathbb{R}}_{>0}$ là tập hợp các số thực dương. Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{R}}_{>0}\to {\mathbb{R}}_{>0}$ sao cho với mọi $x,y\in {\mathbb{R}}_{>0}$, ta có
$$f(x)f(yf(x))+yf(xy)=\frac{f\left(\frac{x}{y}\right)}{y}+\frac{f\left(\frac{y}{x}\right)}{x}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Đáp án: $f(x)=\frac{c}{x}$ với mọi $x>0$, trong đó $c>0$ tùy ý.

Bước 1: Đổi ẩn. Đặt $g(x)=xf(x)$ với $x>0$; vì $f(x)>0$ nên $g(x)>0$, và $f(x)=\frac{g(x)}{x}$. Khi đó:
- $f(x)f(yf(x))=\frac{g(x)}{x}\cdot \frac{g(yg(x)/x)}{yg(x)/x}=\frac{1}{y}g\left(\frac{yg(x)}{x}\right)$;
- $yf(xy)=\frac{g(xy)}{x}$;
- $\frac{f(x/y)}{y}=\frac{g(x/y)}{x}$, $\frac{f(y/x)}{x}=\frac{g(y/x)}{y}$.

Nhân hai vế với $xy$, phương trình trở thành
$$xg\left(\frac{yg(x)}{x}\right)+yg(xy)=yg\left(\frac{x}{y}\right)+xg\left(\frac{y}{x}\right).\text{\hspace{1em}(E)}$$

Bước 2: Đặt $a=g(1)=f(1)>0$.
- Thay $y=x$: $xg(g(x))+xg(x^2)=2xg(1)$, suy ra $g(g(x))+g(x^2)=2a$. (1)
- Thay $y=1$: $xg(g(x))+g(x)=g(x)+xg(1/x)$, suy ra $g(g(x))=g(1/x)$. (2)

Từ (1) và (2): $g(1/x)+g(x^2)=2a$. (3)
Áp dụng (3) hai lần: $g(x^4)=2a-g(1/x^2)=2a-(2a-g(x))=g(x)$, tức là
$$g(x^4)=g(x)\forall x>0.\text{\hspace{1em}(4)}$$

Bước 3: Chứng minh $g$ hằng. Thay $y=tx$ ($t>0$) vào (E) rồi chia cho $x$:
$$g(tg(x))+tg\left(t{x}^2\right)=tg\left(\frac{1}{t}\right)+g(t).\text{\hspace{1em}(5)}$$
Áp dụng (5) với $x$ và với $x^4$: theo (4) ta có $g(x^4)=g(x)$ nên số hạng đầu $g(tg(x))$ bằng nhau; do đó
$$tg\left(t{x}^8\right)=tg\left(t{x}^2\right)\Rightarrow g\left(t{x}^8\right)=g\left(t{x}^2\right).$$
Đặt $u=t{x}^2$, khi đó $t{x}^8=u{x}^6$. Với mọi $u,v>0$ tùy ý: chọn $x=v^{1/6}$ và $t=u/x^2>0$, ta được
$$g(uv)=g(u)\forall u,v>0.$$
Vì mọi $v>0$ đều được phép, điều này buộc $g$ là hằng số: $g\equiv c$ với $c=g(1)=f(1)>0$.

Bước 4: Kết luận và kiểm tra. Suy ra $f(x)=\frac{g(x)}{x}=\frac{c}{x}$ với $c>0$. Thử lại với $f(x)=c/x$:
- $f(x)f(yf(x))=\frac{c}{x}\cdot f\left(\frac{cy}{x}\right)=\frac{c}{x}\cdot \frac{c}{cy/x}=\frac{c}{y}$;
- $yf(xy)=\frac{c}{x}$;
- $\frac{f(x/y)}{y}=\frac{c}{x}$, $\frac{f(y/x)}{x}=\frac{c}{y}$.

Hai vế đều bằng $\frac{c}{x}+\frac{c}{y}$, nên thỏa mãn với mọi $x,y>0$.

Vậy tất cả các hàm thỏa mãn là $f(x)=\frac{c}{x}$, $c>0$.