Câu 4. Cho $a,b$ là các số thực thỏa mãn $1<a\le b\le a^6$.

Phương trình ${\log }_a(x^2-8)={\log }_a(x-2)$ có hai nghiệm phân biệt.

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên $m$ để hàm số $f(x)=\frac{{\log }_b(x^2+2x-m+12)}{x^2+2x+m+1}$ luôn xác định với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$. Khi đó tổng các phần tử của $S$ bằng $55$.

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={\left[{\log }_a\left(\frac{a^2}{b}\right)\right]}^2-3{\log }_{\sqrt{a}}\left(\frac{b}{a}\right)$ bằng $-14$.

Biết rằng $\frac{1}{{\log }_{b}a}+\frac{1}{{\log }_{a}b}=\sqrt{c}$. Khi đó biểu thức $Q=\frac{1}{{\log }_{ab}a}+\frac{1}{{\log }_{ab}\sqrt{a}}-\frac{1}{{\log }_{ab}b}-\frac{1}{{\log }_{ab}\sqrt{b}}$ có giá trị bằng $\sqrt{c-3}$.