Câu 4. Cho tập hợp $X=\{1;2;3;4;5;6;7;8\}$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có $4$ chữ số được lập từ các chữ số thuộc tập $X$. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp $S$. Xác suất để chọn được một số chia hết cho $3$ bằng $\frac{a}{b}$ (với $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính $T=a+b$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề thi 2009, trang 5), Câu 4 (Phần III) có đáp số là $2731$.

Số phần tử của $S$ là $n(\Omega )=8^4=4096$.
Trong $X$ có $2$ số chia hết cho $3$ ($\{3;6\}$), $3$ số chia $3$ dư $1$ ($\{1;4;7\}$) và $3$ số chia $3$ dư $2$ ($\{2;5;8\}$).
Dùng đa thức sinh $(2+3x+3x^2{)}^4$, số các số có $4$ chữ số chia hết cho $3$ là $\frac{8^4+2\cdot (-1{)}^4}{3}=\frac{4096+2}{3}=1366$.
Xác suất là $\frac{1366}{4096}=\frac{683}{2048}$ (tối giản), suy ra $T=a+b=683+2048=2731$.