Câu 6 (6 điểm).
a) Tìm số nghiệm thực dương phân biệt của đa thức $Q(x)=x^3-5x^2+4x-1$.
b) Giả sử $a$, $b$, $c$, $d$ là các số nguyên sao cho đa thức $P(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có 3 nghiệm thực dương phân biệt và không có nghiệm hữu tỷ. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=|a|+|b|+|c|+|d|$.

a) Xét đa thức $R(x)=-x^{3}Q\left(\frac{1}{x}\right)=x^3-4x^2+5x-1$. Ta thấy mỗi nghiệm dương của $Q(x)$ sẽ tương ứng với đúng một nghiệm dương của $R(x)$.
Ta có đạo hàm $R^{\prime }(x)=3x^2-8x+5$.
Nghiệm của $R^{\prime }(x)$ là $x_{CD}=1>0$, $x_{CT}=\frac{5}{3}>0$.
Hàm số $R(x)$ tăng thực sự trên các nửa khoảng $\left(-\infty ;x_{CD}\right]$, $\left[x_{CT};+\infty \right)$ và giảm thực sự trên đoạn $\left[x_{CD};x_{CT}\right]$.
Khi đó $R(0)=-1<0$, $R\left(x_{CD}\right)=R(1)=1>0$ và $R\left(x_{CT}\right)=R\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{23}{27}>0$.
Do $\underset{x\to \infty }{\lim }R(x)=+\infty$, đồ thị hàm $y=R(x)$ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất có hoành độ thuộc $(0;1)$. Suy ra đa thức $R(x)$ có duy nhất một nghiệm dương, kéo theo $Q(x)$ cũng có duy nhất một nghiệm dương.

b) Nếu $P(x)$ thỏa mãn điều kiện thì $-P(x)$ cũng thỏa mãn nên có thể giả sử $a>0$.
Gọi $r<s<t$ là các nghiệm dương của $P(x)$. Khi đó $P(x)=a(x-r)(x-s)(x-t)$.
Theo định lí Viète ta có $r+s+t=\frac{-b}{a}>0$, $rs+st+tr=\frac{c}{a}>0$, $rst=-\frac{d}{a}>0$.
Vì $P(x)$ có 3 nghiệm dương nên $c>0$, $b<0$, $d<0$.
Đặt $A=a$, $b=-B$, $c=C$, $d=-D$,
và $S_1=r+s+t=\frac{B}{A}>0$, $S_2=rs+st+tr=\frac{C}{A}>0$, $S_3=rst=\frac{D}{A}>0$.
Khi đó, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, để ý điều kiện $r$, $s$, $t$ là 3 số dương phân biệt, ta nhận được $S_1^2>3S_2$, $S_2^2>3S_1{S}_3$.
Theo bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương phân biệt ta cũng có
$$S_1>3\sqrt[3]{S_3},S_2>3\sqrt[3]{S_3^2}\Rightarrow S_1{S}_2>9S_3.$$
Kết hợp lại ta suy ra $3AC<B^2$, $3BD<C^2$, $9AD<BC$. (1)
Ta sẽ chỉ ra rằng $S=|a|+|b|+|c|+|d|=A+B+C+D\ge 13$. Thật vậy, giả sử $S\le 12$. Khi đó vì $A,D\ge 1$ nên
$$9AD<BC\le {\left(\frac{B+C}{2}\right)}^2\le {\left(\frac{12-A-D}{2}\right)}^2\le {\left(\frac{12-2\sqrt{AD}}{2}\right)}^2={\left(6-\sqrt{AD}\right)}^2.$$
Suy ra $2AD+3\sqrt{AD}-9<0$, tức là $-3<\sqrt{AD}<\frac{3}{2}$. Vì $A,D\ge 1$ nên $AD\in \{1;2\}$.
Trường hợp 1: Giả sử $AD=1$. Khi đó $A=D=1$, suy ra $B+C\le 10$, $BC>9$.
Do $BC>9\Rightarrow B+C>6$. Vậy $B+C\in \{7;8;9;10\}$.
Mặt khác từ (1) dẫn tới $3C<B^2$, $3B<C^2$. (2)
Do đó nếu trong $B$, $C$ có một số lớn hơn 3 thì số còn lại cũng lớn hơn 3. (*)
Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1.1: $B+C=7$. Rõ ràng trường hợp này không thỏa mãn (*).
Trường hợp 1.2: $B+C=8$. Do $BC>9$ và (*) nên chỉ có cặp số $(B,C)=(4,4)$.
Tuy nhiên khi đó đa thức $P(x)=x^3-4x^2+4x-1$ có nghiệm hữu tỷ $x=1$ nên loại.
Trường hợp 1.3: $B+C=9$. Do $BC>9$ và (*) nên $(B,C)\in \{(4,5);(5,4)\}$.
Xét $(B,C)=(4,5)$. Khi đó $P(x)=x^3-4x^2+5x-1$ có $P^{\prime }(x)=3x^2-8x+5$.
Nghiệm của $P^{\prime }(x)$ là $x_{CD}=1$, $x_{CT}=\frac{5}{3}$.
Do $P(0)=-1<0$, $P(1)=1>0$, $P\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{125}{27}-\frac{100}{9}+\frac{25}{3}-1=\frac{23}{27}>0$, nên đa thức $P(x)$ có duy nhất một nghiệm dương, nghiệm này thuộc khoảng $(0;1)$: loại.
Xét $(B,C)=(5,4)$. Theo câu a) đa thức $P(x)=x^3-5x^2+4x-1$ có duy nhất một nghiệm dương: loại.
Trường hợp 1.4: $B+C=10$. Do $BC>9$ và (*) nên $(B,C)\in \{(6,4);(4,6);(5,5)\}$.
Với $(B,C)\in \{(6,4);(4,6)\}$: không thỏa mãn điều kiện (2) do $3\cdot 6>4^2$.
Đối với $B=C=5$. Khi đó $P(x)=x^3-5x^2+5x-1$ có nghiệm hữu tỷ $x=1$: loại.
Trường hợp 2: Giả sử $AD=2$. Suy ra $A+D=3$, $B+C\le 9$, $BC>9AD=18$.
Theo AM-GM, ta phải có $B+C\ge 2\sqrt{BC}\ge 2\sqrt{19}>8$.
Vì vậy $B+C=9$, suy ra $BC\le \frac{9^2}{4}$. Dẫn tới $BC\in \{19;20\}$.
Để thấy trường hợp $BC=19$ không thỏa mãn. Vì vậy ta phải có $BC=20$, $B+C=9$, suy ra $(B,C)$ là một hoán vị của $(4,5)$, trong khi $(A,D)$ là một hoán vị của $(1,2)$.
Để bất đẳng thức (1) được thỏa mãn, ta thấy chỉ có thể xảy ra các khả năng sau: $(A,B,C,D)=(1,4,5,2)$ hoặc $(2,5,4,1)$. Tuy nhiên, trong hai trường hợp này, hai đa thức $P_1(x)=2x^3-5x^2+4x-1$ và $P_2(x)=x^3-4x^2+5x-2$ đều có nghiệm hữu tỷ $x=1$: loại.
Như vậy ta phải có $S=A+B+C+D\ge 13$. Ta đưa ra ví dụ với $S=13$.
Xét $(A,B,C,D)=(1,5,6,1)$, khi đó
$$P(x)=x^3-5x^2+6x-1.$$
Do $P(0)=-1<0$, $P(1)=1>0$, $P(2)=-1<0$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }P(x)=+\infty$, nên theo định lý Bolzano, đa thức bậc ba $P(x)$ có đúng 3 nghiệm dương phân biệt $x_1$, $x_2$, $x_3$, với $0<x_1<1<x_2<2<x_3$.
Rõ ràng, theo tiêu chuẩn Eisenstein, $P(x)$ không có nghiệm hữu tỷ vì hệ số tự do của đa thức monic $P(x)$ bằng $-1$, hơn nữa $P(\pm 1)\ne 0$.
Vậy $S_{\min }=13$.