Câu 6. Cho hàm số $f(x)=2^{x^2}$ và hàm số $g(x)=\sqrt{{\log }_{2}x}$. Giả sử $S={\int }_1^{20}f(x)dx+{\int }_2^{2^{400}}g(x)dx$ được viết dưới dạng $S=a\cdot 2^b-c$, với $b$ là số nguyên và $a,c$ là các số nguyên tố. Tính $a+b+c$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 5), Câu 6 (Phần III) có đáp số là $409$.

Xét hàm số $y=f(x)=2^{x^2}$ trên $[1;20]$:
- Khi $x=1\Rightarrow y=2^{1^2}=2$.
- Khi $x=20\Rightarrow y=2^{20^2}=2^{400}$.
Hàm số $f(x)$ liên tục và đồng biến trên $[1;20]$.

Tìm hàm ngược của $y=2^{x^2}$ trên $[1;20]$:
$x^2={\log }_{2}y\Rightarrow x=\sqrt{{\log }_{2}y}$ (do $x\ge 1$).
Do đó $g(x)=\sqrt{{\log }_{2}x}$ chính là hàm số ngược của $f(x)$ trên miền giá trị $[2;2^{400}]$.

Theo tính chất tích phân của hai hàm ngược nhau:
${\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_{f(a)}^{f(b)}{f}^{-1}(y)dy=b\cdot f(b)-a\cdot f(a)$.
Áp dụng với $a=1,b=20$, $f(1)=2,f(20)=2^{400}$:
$S={\int }_1^{20}f(x)dx+{\int }_2^{2^{400}}g(x)dx=20\cdot 2^{400}-1\cdot 2=(5\cdot 4)\cdot 2^{400}-2=5\cdot 2^{402}-2$.

Đối chiếu với dạng $S=a\cdot 2^b-c$, ta có:
$a=5$ (số nguyên tố),
$b=402$ (số nguyên),
$c=2$ (số nguyên tố).
Vậy $a+b+c=5+402+2=409$.