Câu 3. Trong một buổi hội thảo chuyên đề về ứng dụng Trí tuệ nhân tạo (AI) trong học tập, có $300$ học sinh khối 11 và $200$ học sinh khối 12 tham gia. Qua khảo sát thực tế, tỉ lệ học sinh khối 11 có sử dụng hệ thống chatbot AI hỗ trợ học tập là $0,4$; trong khi tỉ lệ này ở khối 12 là $0,7$. Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên một học sinh tham gia hội thảo để phỏng vấn. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 5), Câu 3 (Phần II): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Tổng số học sinh là $300+200=500$.
Gọi $A$ là biến cố "Học sinh được chọn thuộc khối 11", $\bar{A}$ là biến cố "Học sinh được chọn thuộc khối 12".
$P(A)=\frac{300}{500}=0,6$ và $P(\bar{A})=\frac{200}{500}=0,4$.
Gọi $B$ là biến cố "Học sinh được chọn có sử dụng chatbot AI".
Theo giả thiết: $P(B\mid A)=0,4$ và $P(B\mid \bar{A})=0,7$.

a) Xác suất chọn học sinh thuộc khối 12 là $P(\bar{A})=0,4$. Khẳng định a đúng.

b) Xác suất chọn được học sinh khối 11 và có dùng AI là $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)=0,6\cdot 0,4=0,24$. Khẳng định b đúng.

c) Xác suất học sinh được chọn có sử dụng chatbot AI là:
$P(B)=P(A)\cdot P(B\mid A)+P(\bar{A})\cdot P(B\mid \bar{A})=0,6\cdot 0,4+0,4\cdot 0,7=0,24+0,28=0,52\ne 0,55$. Khẳng định c sai.

d) Theo công thức Bayes, xác suất học sinh thuộc khối 12 khi biết em đó có sử dụng AI là:
$P(\bar{A}\mid B)=\frac{P(\bar{A}\cap B)}{P(B)}=\frac{0,28}{0,52}=\frac{28}{52}=\frac{7}{13}$. Khẳng định d đúng.