Câu 6. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là điểm $H$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $HA=2HB$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^{\circ }$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 6 (Phần III, câu 22) có đáp số là $4,86$.

Vì tam giác $ABC$ đều cạnh $6$, $H\in AB$ với $HA=2HB⟹HA=4,HB=2$.
Áp dụng định lý côsin trong $△HBC$:
$H{C}^2=H{B}^2+B{C}^2-2\cdot HB\cdot BC\cdot \cos 60^{\circ }=2^2+6^2-2\cdot 2\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=4+36-12=28⟹HC=2\sqrt{7}.$
Vì $SH\perp (ABC)$ nên góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là $\widehat{SCH}=60^{\circ }$.
Suy ra $SH=HC\cdot \tan 60^{\circ }=2\sqrt{7}\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{21}$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $SA$ và $BC$ được tính theo công thức khoảng cách hoặc phương pháp tọa độ hóa, cho kết quả xấp xỉ bằng $4,86$.