Câu 5. Một con kiến đang ở điểm $O(0;0)$ và bò đến điểm $B(8;8)$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Mỗi bước đi, con kiến chỉ có thể bò sang phải 1 đơn vị hoặc bò lên trên 1 đơn vị. Gọi $P$ là xác suất con kiến có đi qua điểm $M(3;3)$. Giá trị $20449P$ bằng bao nhiêu?

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 5 (Phần III, câu 21) có đáp số là $8008$.

Để đi từ $O(0;0)$ đến $B(8;8)$, con kiến cần thực hiện đúng $8$ bước sang phải và $8$ bước lên trên, tổng cộng là $16$ bước.
Tổng số đường đi từ $O$ đến $B$ là:
$N=C_{16}^8=12870.$
Để đường đi đi qua điểm $M(3;3)$:
- Số đường đi từ $O(0;0)$ đến $M(3;3)$ ($3$ phải, $3$ lên): $N_1=C_6^3=20$.
- Số đường đi từ $M(3;3)$ đến $B(8;8)$ ($5$ phải, $5$ lên): $N_2=C_{10}^5=252$.
Số đường đi qua điểm $M$ là:
$N_M=N_1\cdot N_2=20\cdot 252=5040.$
Xác suất con kiến đi qua điểm $M$ là:
$P=\frac{N_M}{N}=\frac{5040}{12870}=\frac{56}{143}.$
Khi đó:
$20449P=20449\cdot \frac{56}{143}=143^2\cdot \frac{56}{143}=143\cdot 56=8008.$