Cho $2$ số phức $z$ và $w$. Biết rằng số phức $z$ có phần thực và phần ảo đều khác $0$ và thỏa mãn $\frac{2z^2+3z+4}{z^2+z+1}$ là số thực. Số phức $w$ thỏa mãn $|w+5+4i|=\sqrt{3}$. Giá trị nhỏ nhất của $P=|z+w+1+2i|$ bằng

[IMAGE_1]

Ta có $u=\frac{2z^2+3z+4}{z^2+z+1}=2+\frac{z+2}{z^2+z+1}$ là số thực $\iff \frac{z+2}{z^2+z+1}=\frac{\bar{z}+2}{{\bar{z}}^2+\bar{z}+1}\iff (\bar{z}-z)(z\bar{z}+2(z+\bar{z})+1)=0$.
Đặt $z=a+bi$ $(a,b\ne 0)\Rightarrow a^2+b^2+4a+1=0\iff (a+2{)}^2+b^2=3$, suy ra điểm biểu diễn $M(z)$ thuộc đường tròn $(C_1)$ tâm $I_1(-2;0)$, bán kính $R_1=\sqrt{3}$.
Đặt $v=-w-1-2i\Rightarrow |v-(4+2i)|=|w+5+4i|=\sqrt{3}$, suy ra điểm biểu diễn $N(v)$ thuộc đường tròn $(C_2)$ tâm $I_2(4;2)$, bán kính $R_2=\sqrt{3}$.
Khi đó $P=|z-v|=MN\ge I_1{I}_2-(R_1+R_2)=\sqrt{6^2+2^2}-2\sqrt{3}=2\sqrt{10}-2\sqrt{3}$ (Đáp án D theo bảng đáp án chính thức trang 7, 16 và kết quả biến đổi trang 31; dòng 'Chọn A' trên trang 31 là lỗi đánh máy trong tài liệu giải).