Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $2f(x)f^{\prime }(x)=1+(2x+1)e^{-f^2(x)+x^2+2x+2}$. Biết $f(0)=\sqrt{2}$. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=1$ quay quanh trục $Ox$.