Cho $\tan \alpha =2$. Tính $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$.

Rút gọn biểu thức $P=\sin 3x\cdot \cos x-\sin x\cdot \cos 3x$.

a) Phương trình dao động điều hoà của một vật tại thời điểm $t$ giây được cho bởi công thức $x(t)=A\cos (\omega t+\phi )$, trong đó $x(t)$ (cm) là li độ của vật tại thời điểm $t$ giây, $A$ là biên độ dao động $(A>0)$ và $\phi \in [-\pi ;\pi ]$ là pha ban đầu của dao động. Xét hai dao động điều hoà có phương trình lần lượt là:

$$x_1(t)=3\cos \left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{3}\right)(cm)\text{ vaˋ }{x}_2(t)=3\cos \left(\frac{\pi }{4}t-\frac{\pi }{6}\right)(cm)$$

Xác định biên độ dao động và pha ban đầu của dao động tổng hợp $x(t)=x_1(t)+x_2(t)$.

b) Cho hai số thực không âm $x,y$ thoả mãn $x^2+4x-y+3={\log }_2\frac{\sqrt{2y+3}}{x+2}$. Chứng minh rằng $2y=2x^2+8x+5$, từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=e^{2x-1}+4x^2+4x-2y-3$.

c) Thống kê chiều cao (đơn vị cm) của các bạn học sinh nam khối 12 ở Trường Trung học phổ thông A người ta thu được bảng sau:



Trong số những học sinh trên, Trường Trung học phổ thông A muốn chọn 25\% các bạn có chiều cao cao hơn các bạn còn lại để tham gia phục vụ đại hội thể dục thể thao của xã. Hỏi các bạn được chọn có chiều cao từ bao nhiêu cm trở lên?

Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y=3\sin x-4\cos x+1$. Tính tổng $M+m$.

Rút gọn biểu thức $P={\tan }^{2}x{\sin }^{2}x-{\tan }^{2}x+\cos \left(90^0-x\right).\sin \left(180^0-x\right)$ $\left(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$ ta được:

Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?

Công thức nào sau đây sai?