Cho 9 số thực $a_1,a_2,\dots ,a_9$. Khởi đầu với bộ 9 số thực $(a_1,a_2,\dots ,a_9)$.
Ở mỗi bước, từ bộ vừa được tạo $(x_1,x_2,\dots ,x_9)$, ta tạo ra một bộ mới $(y_1,y_2,\dots ,y_9)$ theo quy tắc sau: chọn các số ${ϵ}_1,\dots ,{ϵ}_9\in \{-1;1\}$ sao cho biểu thức $\left|\sum _{i=1}^9{ϵ}_i{x}_i\sqrt{i}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất (nếu có nhiều cách chọn, lấy một cách tùy ý), sau đó đặt $y_i=x_i+{ϵ}_i\sqrt{i}$ với mọi $i=1,2,\dots ,9$.
Chứng minh sau hữu hạn bước, sẽ xuất hiện một bộ $(u_1,u_2,\dots ,u_9)$ sao cho tồn tại chỉ số $i$ để $|u_i|\ge \frac{15}{2}$.

Trước hết, ta có bổ đề sau:

Bổ đề 0.1. Với mọi số thực $c_1,\dots ,c_9$, tồn tại các cách chọn dấu ${\delta }_1,\dots ,{\delta }_9\in \{-1,1\}$ sao cho $\left|{\sum }_{i=1}^9{\delta }_i{c}_i\right|\le {\max }_{1\le i\le 9}|c_i|$.

Chứng minh. Thật vậy, đặt $M=\max |c_i|$ và chọn các dấu lần lượt. Nếu tổng tạm thời là $S$ với $|S|\le M$, ta chọn dấu của số hạng tiếp theo ngược với dấu của $S$; tổng mới có trị tuyệt đối bằng $\left||S|-|c_i|\right|\le M$. Bắt đầu từ tổng bằng 0, ta thu được điều phải chứng minh.

Trở lại bài toán ban đầu:

Giả sử trái lại rằng ở mọi bước, tất cả các số trong bộ nhận được đều có trị tuyệt đối nhỏ hơn $15/2$.

Xét một bước đi từ bộ $(x_1,\dots ,x_9)$ đến bộ $(y_1,\dots ,y_9)$.

Áp dụng bổ đề cho các số $x_1\sqrt{1},x_2\sqrt{2},\dots ,x_9\sqrt{9}$. Do các dấu ${\epsilon }_i$ trong đề bài được chọn để trị tuyệt đối của tổng là nhỏ nhất, ta có $\left|{\sum }_{i=1}^9{\epsilon }_i{x}_i\sqrt{i}\right|\le {\max }_{1\le i\le 9}|x_i|\sqrt{i}<\frac{15}{2}\cdot 3=\frac{45}{2}$.

Dễ ý thêm

$$\sum _{i=1}^9{y}_i^2-\sum _{i=1}^9{x}_i^2=\sum _{i=1}^9\left(2{\epsilon }_i{x}_i\sqrt{i}+i\right)=2\sum _{i=1}^9{\epsilon }_i{x}_i\sqrt{i}+45\ge 45-2\left|\sum _{i=1}^9{\epsilon }_i{x}_i\sqrt{i}\right|>0$$

Vì vậy tổng bình phương của 9 số trong bộ tăng ngặt sau mỗi bước.

Mặt khác, sau một số bước bất kỳ, số hạng thứ $i$ trong bộ luôn có dạng $a_i+k_i\sqrt{i}$ với $k_i\in \mathbb{Z}$. Điều kiện $\left|a_i+k_i\sqrt{i}\right|<15/2$ chỉ cho phép hữu hạn giá trị của $k_i$. Do đó chỉ có hữu hạn bộ có thể xuất hiện nếu tất cả các số hạng trong bộ đều có trị tuyệt đối nhỏ hơn $15/2$.

Quá trình vô hạn khi ấy phải lặp lại một bộ, trái với việc tổng bình phương tăng ngặt sau mỗi bước. Vậy sau hữu hạn bước phải xuất hiện một bộ $(u_1,\dots ,u_9)$ có ít nhất một chỉ số $i$ thỏa mãn $|u_i|\ge 15/2$.