Cho số nguyên dương lẻ $n$. Một số nguyên dương $m$ được gọi là số tốt nếu $m^x+x^m$ chia hết cho $n^x+x^n$ với mọi số nguyên dương $x$.
a) Chứng minh nếu $m$ là một số tốt thì $m$ chia hết cho $n$.
b) Tìm tất cả các số tốt.

a) Nếu $n=1$ thì bài toán luôn đúng. Xét $n>1$.

Gọi $p$ là ước nguyên tố bất kỳ của $n$.

Chọn $x=n$, ta có $m^n+n^m⋮n\Rightarrow m^n⋮n⋮p\Rightarrow m⋮p$.

Chọn $x=p\cdot (mn+1)$, ta có $x{v}_p(n)>n$, $x{v}_p(m)>m$
$$\Rightarrow v_p(m^x+x^m)=x{v}_p(m),v_p(n^x+x^n)=x{v}_p(n)$$

Mà $m^x+x^m⋮n^x+x^n$ nên $x{v}_p(m)\ge x{v}_p(n)$, hay $v_p(m)\ge v_p(n)$.

Điều này đúng với mọi số nguyên tố $p\mid n$ nên ta có $m⋮n$.

b) Đặt $m=kn$, $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$. $k=1$ thỏa mãn, ta xét $k\ge 2$.

Theo định lí Schur, tập ước nguyên tố của $\{n+x^n\mid x\in {\mathbb{Z}}^{+}\}$ là vô hạn.

Tồn tại $x_0\in {\mathbb{Z}}^{+}$ và số nguyên tố $p>kn+n^k$ để $p\mid n+x_0^n$.

Theo định lí thặng dư Trung Hoa, tồn tại $x\in {\mathbb{Z}}^{+}$ để $x\equiv 1(\mathrm{mod}p-1)$, $x\equiv x_0(\mathrm{mod}p)$.

Khi đó $n^x+x^n\equiv n+x_0^n\equiv 0(\mathrm{mod}p)$

$$⟹0\equiv m^x+x^m\equiv m+x_0^m\equiv kn+x_0^{kn}\equiv kn+(-n{)}^k(\mathrm{mod}p)$$

$$⟹kn+(-n{)}^k⋮p,\text{ maˋ }\left|kn+(-n{)}^k\right|\le kn+n^k<p$$

Do đó phải có $kn+(-n{)}^k=0$, từ đây ta dễ dàng suy ra mâu thuẫn vì $k>1$.

Vậy ta phải có $m=n$.