Cho $(a_n)$ là dãy số được xác định bởi $a_1=2$ và $a_n=2a_{n-1}^2-1$, $\forall n\in \mathbb{N},n\ge 2$.

Tính giới hạn ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{2^{n-1}(a_{n-1}+1)(a_{n-2}+1)\cdots (a_1+1)}{a_n}$.

Với mọi $n\ge 2$, ta có $a_n-1=2a_{n-1}^2-2=2(a_{n-1}-1)(a_{n-1}+1)$.
Lặp lại đẳng thức này, ta có
$$a_n-1=2^{n-1}(a_1-1)(a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_{n-1}+1)$$
$$=2^{n-1}(a_{n-1}+1)(a_{n-2}+1)\cdots (a_1+1).$$
Mặt khác, $a_1=2$ và nếu $a_{n-1}\ge 2$ thì
$$a_n-a_{n-1}=2a_{n-1}^2-a_{n-1}-1=(2a_{n-1}+1)(a_{n-1}-1)\ge 1.$$
Do đó $a_n\to +\infty$. Vì vậy ta có được
$$\frac{2^{n-1}(a_{n-1}+1)(a_{n-2}+1)\cdots (a_1+1)}{a_n}=\frac{a_n-1}{a_n}=1-\frac{1}{a_n}\to 1.$$
Vậy giới hạn cần tìm bằng 1.

Nhận xét: Ta cũng có thể sử dụng công thức tổng quát $a_n=\frac{{\alpha }^{2^{n-1}}+{\alpha }^{-2^{n-1}}}{2}$ với $\alpha =2+\sqrt{3}$ để giải quyết.