Cho ba số $\frac{2}{b-a},\frac{1}{b},\frac{2}{b-c}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số $a,b,c$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ba số $\frac{2}{b-a},\frac{1}{b},\frac{2}{b-c}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên số hạng giữa bằng trung bình cộng của hai số còn lại (các mẫu khác 0 nên $b\ne 0$, $b\ne a$, $b\ne c$):
$$\frac{2}{b}=\frac{2}{b-a}+\frac{2}{b-c}.$$
Chia hai vế cho 2:
$$\frac{1}{b}=\frac{1}{b-a}+\frac{1}{b-c}=\frac{(b-c)+(b-a)}{(b-a)(b-c)}=\frac{2b-a-c}{(b-a)(b-c)}.$$
Nhân chéo:
$$(b-a)(b-c)=b(2b-a-c).$$
Khai triển vế trái:
$$b^2-b(a+c)+ac=2b^2-b(a+c).$$
Suy ra $ac=b^2$, tức $b^2=ac$.
Vì $b^2=ac$ nên ba số $a,b,c$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân (điều kiện đặc trưng của cấp số nhân: bình phương số hạng giữa bằng tích hai số hạng đầu và cuối). Đpcm.