Cho bất phương trình $4{\log }_9^2(3x)+2(m+1){\log }_{\frac{1}{3}}x-3-m\ge 0$ với $m$ là tham số thực. Số giá trị nguyên của $m$; $m\in (-2021;2024)$ để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng $(\sqrt{3};27)$ là

Chọn C.
Đặt $t={\log }_{3}x\iff \{\begin{array}{l}x=3^t\\ t\in \left(\frac{1}{2};3\right)\end{array}$.
Ta có $4{\log }_9^2(3x)+2(m+1){\log }_{\frac{1}{3}}x-3-m\ge 0\iff 4{\log }_9^2(3\cdot 3^t)+2(m+1){\log }_{\frac{1}{3}}{3}^t-3-m\ge 0$
$\iff (t+1{)}^2-2(m+1)t-3-m\ge 0\iff t^2-2mt-2-m\ge 0$.
Khi đó, bài toán trở thành tìm $m$ để $t^2-2mt-2-m\ge 0$ có nghiệm thuộc $\left(\frac{1}{2};3\right)$.
Ta có $t^2-2mt-2-m\ge 0\iff t^2-2\ge m(2t+1)\iff m\le \frac{t^2-2}{2t+1}$.
Xét hàm số $g(t)=\frac{t^2-2}{2t+1}\Rightarrow g^{\prime }(t)=\frac{2t^2+2t+4}{(2t+1{)}^2}>0,t\in \left(\frac{1}{2};3\right)$.
Để $t^2-2mt-2-m\ge 0$ có nghiệm thuộc $\left(\frac{1}{2};3\right)$ khi và chỉ khi $m<g(3)=1$ (hoặc theo lời giải gốc $m\le g(3)=1\Rightarrow m\in \{-2020;-2019;\dots ;0;1\}$, có $2022$ giá trị nguyên).