Gọi $S$ là tập hợp các số thực $m$ sao cho với mỗi $m\in S$ có đúng một số phức thỏa mãn $|z-m|=5$ và $\frac{z}{z-6}$ là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập $S$.

Chọn B.
Giả sử $z=x+yi\Rightarrow |z-m|=\sqrt{(x-m{)}^2+y^2}=5\iff (x-m{)}^2+y^2=25(1)$.
$\frac{z}{z-6}=\frac{x+yi}{x-6+yi}=\frac{(x+yi)(x-6-yi)}{(x-6{)}^2+y^2}=\frac{x^2-6x+y^2-6yi}{(x-6{)}^2+y^2}$ là số thuần ảo $\iff \{\begin{array}{l}{x}^2-6x+y^2=0\\ (x;y)\ne (6;0)\end{array}\iff (x-3{)}^2+y^2=9(2)$.
Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức $z=x+yi$, ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}(x-m{)}^2+y^2=25(1)\\ (x-3{)}^2+y^2=9(2)\end{array}$.
Phương trình $(1)$ là phương trình đường tròn tâm $I(m;0)$ bán kính $R=5$.
Phương trình $(2)$ là phương trình đường tròn tâm $I^{\prime }(3;0)$ bán kính $R^{\prime }=3$.
Hai đường tròn tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi $[\begin{array}{l}I{I}^{\prime }=5-3=2\\ I{I}^{\prime }=5+3=8\end{array}\iff [\begin{array}{l}|m-3|=2\\ |m-3|=8\end{array}\iff m\in \{-5;1;5;11\}\Rightarrow \sum m=12$.