Cho các dãy số sau đây: $u_n=(\sqrt{5}{)}^{2n-3}$; $v_n=\frac{2}{n}$; $w_n=\frac{3^{n+1}}{2^n}$ và dãy số hữu hạn gồm các số hàng: $16;4;1;\frac{1}{4};\frac{1}{16};\frac{1}{64}$. Dãy số nào là cấp số nhân, tìm số hàng đầu và công bội.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy:

1) $u_n=(\sqrt{5}{)}^{2n-3}=5^{n-\frac{3}{2}}$. Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{5^{n-\frac{1}{2}}}{5^{n-\frac{3}{2}}}=5$ không đổi với mọi $n$, nên $(u_n)$ là cấp số nhân với số hàng đầu $u_1=5^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ và công bội $q=5$.

2) $v_n=\frac{2}{n}$: $\frac{v_2}{v_1}=\frac{1}{2}$, $\frac{v_3}{v_2}=\frac{2}{3}$, tỉ số không không đổi nên $(v_n)$ không là cấp số nhân.

3) $w_n=\frac{3^{n+1}}{2^n}=3\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^n$. Ta có $\frac{w_{n+1}}{w_n}=\frac{3}{2}$ không đổi, nên $(w_n)$ là cấp số nhân với số hàng đầu $w_1=\frac{9}{2}$ và công bội $q=\frac{3}{2}$.

4) Dãy hữu hạn $16;4;1;\frac{1}{4};\frac{1}{16};\frac{1}{64}$: mỗi số hạng (từ số thứ hai) bằng số hạng trước nhân với $\frac{1}{4}$, nên đây là cấp số nhân với số hàng đầu $16$ và công bội $q=\frac{1}{4}$.

Kết luận: Các dãy $u_n$, $w_n$ và dãy hữu hạn là cấp số nhân; dãy $v_n$ không là cấp số nhân.