Cho các hàm số $y=x^4+3x^2+1$; $y=x^3+x^2+5x+1$; $y=\frac{x-1}{x+2}$; $y=x^2+x+1$. Trong các hàm số đã cho, có bao nhiêu hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$?

Xét từng hàm số:
- Các hàm số đa thức bậc chẵn $y=x^4+3x^2+1$ và $y=x^2+x+1$ có đạo hàm đổi dấu trên $\mathbb{R}$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- Hàm số phân thức $y=\frac{x-1}{x+2}$ có tập xác định $\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- Hàm số $y=x^3+x^2+5x+1$ có tập xác định $\mathcal{D}=\mathbb{R}$ và $y^{\prime }=3x^2+2x+5$.
Tam thức bậc hai $3x^2+2x+5$ có $a=3>0$ và ${\Delta }^{\prime }=1^2-3\cdot 5=-14<0$, nên $y^{\prime }>0,\forall x\in \mathbb{R}$. Do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Vậy trong 4 hàm số đã cho, có đúng $1$ hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Chọn đáp án B.