Cho các số nguyên dương $m,n$. Xét một bảng ô vuông kích thước $3m\times 6n$ (gồm $3m$ hàng và $6n$ cột). Trên bảng đó một số ô có màu trắng và các ô còn lại màu đỏ. Gọi $T$ là số bộ ba $(C_1,C_2,C_3)$ gồm các ô, trọng đó hai ô đầu tiên nằm trên cùng một hàng và hai ô cuối cùng nằm trên cùng một cột, với $C_1$ và $C_3$ là ô trắng còn $C_2$ là ô đỏ. Tìm giá trị lớn nhất của $T$.

Đặt $R=3m$, $C=6n$. Gọi $w_i$ là số ô trắng ở hàng $i$ và $v_j$ là số ô trắng ở cột $j$.

Với mỗi ô đỏ $(i,j)$ được chọn làm $C_2$, có đúng $w_i$ cách chọn $C_1$ và $v_j$ cách chọn $C_3$. Vì thế
$$T=\sum _{(i,j)\text{ đỏ}}{w}_i{v}_j.$$

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
$$T^2\le \left(\sum _{(i,j)\text{ đỏ}}{w}_i^2\right)\left(\sum _{(i,j)\text{ đỏ}}{v}_j^2\right)=\left(\sum _{i=1}^R(C-w_i)w_i^2\right)\left(\sum _{j=1}^C(R-v_j)v_j^2\right).$$

Với $0\le u\le C$ thì $(C-u)u^2\le \frac{4C^3}{27}$ và $(R-v)v^2\le \frac{4R^3}{27}$, do đó
$$T\le \sqrt{R\cdot \frac{4C^3}{27}C\cdot \frac{4R^3}{27}}=\frac{4}{27}{R}^2{C}^2=48m^2{n}^2.$$

Để đạt dấu bằng, chia $3m$ hàng thành ba nhóm, mỗi nhóm $m$ hàng; chia $6n$ cột thành ba nhóm, mỗi nhóm $2n$ cột. Tô đỏ ba khối nằm trên đường chéo tạo bởi các cặp nhóm cùng chỉ số và tô trắng các ô còn lại. Khi đó mỗi hàng có $2n$ ô đỏ, $4n$ ô trắng; mỗi cột có $m$ ô đỏ, $2m$ ô trắng. Có $6mn$ ô đỏ và mỗi ô đỏ đóng góp $(4n)(2m)=8mn$ bộ ba. Bởi vậy $T=6mn\cdot 8mn=48m^2{n}^2$.

Do đó giá trị lớn nhất cần tìm là $\boxed{48m^2{n}^2}$.