Cho các số phức $z$ thỏa mãn $|z|=1$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z+1|+|z^2-z+1|$. Tính $M\cdot m$.

Vì $|z|=1$ nên $|z^2-z+1|=|z|\cdot \left|z+\frac{1}{z}-1\right|=|z+\bar{z}-1|$. Đặt $z=x+yi$ với $x\in [-1;1]$, ta có $|z+1|=\sqrt{(x+1{)}^2+y^2}=\sqrt{2x+2}$ và $|z+\bar{z}-1|=|2x-1|$. Đặt $t=\sqrt{2x+2}\in [0;2]\Rightarrow 2x-1=t^2-3$. Khảo sát $f(t)=t+|t^2-3|$ trên $[0;2]$ ta được $M=\frac{13}{4}$ (tại $t=\frac{1}{2}$) và $m=\sqrt{3}$ (tại $t=\sqrt{3}$). Vậy $M\cdot m=\frac{13\sqrt{3}}{4}$ (lưu ý bảng đáp án gốc trang 13 của mã A-132 in C).