Cho các số thực $a,b,c,d,e,f$ thỏa mãn $\{\begin{array}{rl}& a^2+b^2+c^2-2a+4b+2c-6=0\\ & 2d-e+2f-14=0\end{array}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $(a-d{)}^2+(b-e{)}^2+(c-f{)}^2$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-y+z+1=0$ và điểm $A(1;-2;1)$. Điểm $A$ có khoảng cách đến mặt phẳng $(P)$ bằng

Cho điểm $M(1;2;-4)$, tìm tọa độ điểm $N$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ để $MN$ nhỏ nhất.

Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(\alpha ):x+y+z-3=0$ và mặt phẳng $(\beta ):x-y+z-1=0$. Khi đó mặt phẳng $(R)$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$ sao cho khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(R)$ bằng $2$, có phương trình là

Câu 3. Trong một dự án khảo sát địa chất thăm dò tài nguyên, các nhà khoa học phát hiện một túi khí tự nhiên trong lòng đất được xác định có dạng hình cầu $(S)$, một lớp đá móng ngăn cách các địa tầng $(P)$. Với hệ trục $Oxyz$ phù hợp, đơn vị trên mỗi trục là chục mét. Mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(z+7{)}^2=16$. Lớp đá móng là mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x+y+z-15=0$. Để thực hiện việc khai thác, các nhà khoa học đặt mũi khoan được định hướng bắt đầu từ vị trí $A(1;2;1)$ và tiến tới liên tục theo phương của vectơ $\vec{u}=(1;1;-8)$. Ngoài ra, một trạm quan trắc địa chấn được đặt cố định tại vị trí $K(2;3;5)$ để theo dõi các biến động cơ học trong quá trình khoan.

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x+2{)}^2+y^2+(z-1{)}^2=16$.

Câu 3. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài các cạnh $A{A}^{\prime }=5,AB=3,AD=4$. Tính khoảng cách từ điểm $C^{\prime }$ đến mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$. (Kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân).