Cho các số thực $a,b,c,d,e,f$ thỏa mãn $\{\begin{array}{rl}& a^2+b^2+c^2-2a+4b+2c-6=0\\ & 2d-e+2f-14=0\end{array}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $(a-d{)}^2+(b-e{)}^2+(c-f{)}^2$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt cầu $(S)$:
$(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z+1{)}^2=6+1+4+1=12=(2\sqrt{3}{)}^2,$
có tâm $I(1;-2;-1)$ và bán kính $R=2\sqrt{3}$.
Điểm $N(d;e;f)$ thuộc mặt phẳng $(P):2x-y+2z-14=0$.
Biểu thức $P=(a-d{)}^2+(b-e{)}^2+(c-f{)}^2=M{N}^2$.
Khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$ là:
$d(I,(P))=\frac{|2(1)-(-2)+2(-1)-14|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{|2+2-2-14|}{3}=\frac{12}{3}=4.$
Khoảng cách nhỏ nhất giữa $M\in (S)$ và $N\in (P)$ là:
$M{N}_{\min }=d(I,(P))-R=4-2\sqrt{3}.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:
$P_{\min }=(M{N}_{\min }{)}^2=(4-2\sqrt{3}{)}^2=16-16\sqrt{3}+12=28-16\sqrt{3}.$