Gọi $S$ là tập hợp các số phức $z$ thỏa $|z-1|=\sqrt{34}$ và $|z+1+mi|=|z+m+2i|$ (trong đó $m\in \mathbb{R}$). Gọi $z_1,z_2$ là hai số phức thuộc $S$ sao cho $|z_1-z_2|$ lớn nhất, khi đó giá trị của $|z_1+z_2|$ bằng

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $|z-1|=\sqrt{34}$ là đường tròn tâm $I(1;0)$, bán kính $R=\sqrt{34}$.
Điều kiện $|z+1+mi|=|z+m+2i|$ xác định đường trung trực của đoạn thẳng nối $A(-1;-m)$ và $B(-m;-2)$.
Vì đường thẳng luôn cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt với mọi $m$, nên $|z_1-z_2|$ lớn nhất khi đoạn thẳng nối $M_1(z_1)$ và $M_2(z_2)$ chính là đường kính của đường tròn $(S)$.
Khi đó $I(1;0)$ là trung điểm của $M_1{M}_2$, suy ra $z_1+z_2=2z_I=2(1)=2$.
Do đó $|z_1+z_2|=|2|=2$.