Cho các số thực $b,c$ trái dấu sao cho phương trình $z^2+bz+c=0$ có hai nghiệm phân biệt $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1+2-5i|=\sqrt{17}$ và $(z_1-2)(z_2+4i)$ là số thuần ảo. Giá trị của $b+c$ bằng

Vì $b,c$ trái dấu ($bc<0$) nên $c$ có thể âm hoặc dương.
- Nếu $c<0$: $\Delta =b^2-4c>0$, phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt $z_1,z_2\in \mathbb{R}$.
Khi đó $|z_1+2-5i|=\sqrt{(z_1+2{)}^2+25}\ge 5>\sqrt{17}$ (mâu thuẫn).
- Vậy $c>0,b<0$: $\Delta <0$, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp $z_1=x+yi$ và $z_2=x-yi$ ($y\ne 0$).
Theo định lý Vi-ét:
$\{\begin{array}{l}{z}_1+z_2=2x=-b\\ z_1{z}_2=x^2+y^2=c\end{array}$
Ta có: $|z_1+2-5i|=\sqrt{17}\iff (x+2{)}^2+(y-5{)}^2=17$.
Lại có:
$(z_1-2)(z_2+4i)=(x-2+yi)(x-yi+4i)=[x^2+y^2-2x-4y]+[4x+2y-8]i.$
Vì tích là số thuần ảo nên phần thực bằng $0$:
$x^2+y^2-2x-4y=0.$
Giải hệ phương trình:
$\{\begin{array}{l}(x+2{)}^2+(y-5{)}^2=17\\ x^2+y^2-2x-4y=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=-1,y=1\\ x=2,y=4\end{array}$
- Với $x=-1,y=1$: $b=-2x=2$, $c=x^2+y^2=2\Rightarrow bc=4>0$ (loại vì $b,c$ trái dấu).
- Với $x=2,y=4$: $b=-2x=-4$, $c=x^2+y^2=20\Rightarrow bc=-80<0$ (thỏa mãn).
Vậy $b+c=-4+20=16$.