Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;3;-2)$, $B(1;4;3)$, $C(-2;5;2)$ và $D(-1;-1;8)$. Điểm $M$ di động trên trục $Oy$. Gọi $P=2|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|+3|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}|$. Giá trị nhỏ nhất của $P$ là

Gọi $I$ là trọng tâm tam giác $ABC\Rightarrow \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\vec{0}\Rightarrow I(0;4;1)$.
Gọi $J$ là trung điểm của đoạn thẳng $AD\Rightarrow \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JD}=\vec{0}\Rightarrow J(0;1;3)$.
Khi đó:
$P=2|3\overrightarrow{MI}|+3|2\overrightarrow{MJ}|=6(MI+MJ).$
Ta thấy các điểm $I(0;4;1)$ và $J(0;1;3)$ đều thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ và có cao độ $z>0$ nên nằm về cùng một phía đối với trục $Oy$.
Lấy điểm $I^{\prime }$ đối xứng với $I$ qua trục $Oy\Rightarrow I^{\prime }(0;4;-1)$.
Khi đó $MI+MJ=I^{\prime }M+MJ\ge I^{\prime }J=\sqrt{(0-0{)}^2+(1-4{)}^2+(3-(-1){)}^2}=\sqrt{9+16}=5$.
Suy ra $P_{\min }=6\cdot 5=30$.