Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^2-2y-z=y^2-2z-x=z^2-2x-y$. Chứng minh rằng $x=y=z$.

$x^2-2y-z-y^2+2z+x=0$ nên $0=x^2-y^2+x-2y+z=(x-y)(x+y)+(x-y)-y+z$.
Suy ra $y-z=(x-y)(x+y+1)$, tương tự $z-x=(y-z)(y+z+1)$ và $x-y=(z-x)(z+x+1)$.
Nhân vào có được $(x-y)(y-z)(z-x)=(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+1)(y+z+1)(z+x+1)$.
Để ý $(x+y+1)(y+z+1)(z+x+1)>1$ nên $(x-y)(y-z)(z-x)=0$.
Không mất tính tổng quát, giả sử $x=y$, suy ra $(z-x)(z+x+1)=0$ nên $z=x$.
Từ đó suy ra được $x=y=z$.