Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $P$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$, $Q$ là giao điểm của hai đường thẳng $AD$ và $BC$. Tiếp tuyến tại $A$ và $C$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $QAC$ giao nhau tại $K$, tiếp tuyến tại $B$ và $D$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $QBD$ giao nhau tại $L$. Chứng minh rằng đường thẳng $KL$ vuông góc với đường thẳng $OP$.

Cách 1. Gọi $AD$ cắt $BC$ tại $R$, theo định lí Brocard ta có $OP\perp QR$ nên ta đi chứng minh $QR//KL$. Gọi $(QBD)$ cắt $(QAC)$ tại $T$, do $PB\cdot PD=PA\cdot PC\Rightarrow Q,P,T$ thẳng hàng do cùng nằm trên trục đẳng phương của $(QBD)$ và $(QAC)$.
Gọi $TL$ cắt $(QBD)$ tại $X\Rightarrow BTDX$ là tứ giác điều hòa $\Rightarrow Q(BDTX)=-1\Rightarrow Q(CDPX)=-1$
$\Rightarrow Q,X,R$ thẳng hàng vì $Q(CDPR)=-1$ (hàng điểm tứ giác toàn phần).
Ta có $T$ là tâm vị tự quay biến $(QBD)$ thành $(QAC)$ nên cùng biến $L$ thành $K$ mà phép vị tự quay này biến $BD$ thành $AC$ nên cùng tồn tại phép tự quay khác có tâm $T$ biến $AD$ thành $KL$ hay ta có $\Delta TLK\sim \Delta TDA\Rightarrow \angle TLK=\angle TDA=\angle QXT\Rightarrow LK//QX$ hay $LK//QR$ (điều phải chứng minh).



Cách 2. Gọi tiếp tuyến tại $B,D$ của $(O)$ cắt nhau tại $T$ và tiếp tuyến tại $A,C$ của $(O)$ cắt nhau tại $S$. Ta có $ST$ là đối cực của $P$ ứng với $(O)$ do đó: $OP\perp ST$. Ta cần chứng minh: $ST//KL$.
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BD$ và $AC$.
Ta có: $O{A}^2=OM\cdot OT=ON\cdot OS$ suy ra: $T,M,N,S$ cùng thuộc một đường tròn.
Ta có: $\Delta QAC\sim \Delta QBD$ (g.g) suy ra: $\Delta QMD\sim \Delta QNC$ (c.g.c) suy ra: $QM,QN$ đồng dạng ứng với góc $DQC$. Ta có: $QK$ là đối trung của tam giác $QAC$ suy ra: $Q,M,K$ thẳng hàng.
Tương tự: $Q,N,L$ thẳng hàng.
Ta có: $\angle LDQ=180^{\circ }-\angle QBD=\angle BDC=\angle DAC=\angle QCK$.
Vậy ta có: $\Delta QDL\sim \Delta QCK$ (g.g) suy ra:
$\frac{QD}{QC}=\frac{QL}{QK}=\frac{QM}{QN}$ suy ra: $QL\cdot QN=QK\cdot QM$ dẫn đến: $M,N,K,L$ cùng thuộc một đường tròn.
Vậy ta có: $\angle MNK=\angle LTS=\angle NKL$ suy ra: $ST//KL$ suy ra: $OP\perp KL$.