Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=\frac{1}{2},a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) Chứng minh $(a_n)$ là dãy số giảm.

b) Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $b_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$. Tính $\lim b_n$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 3.**

**a) Chứng minh dãy $(a_n)$ giảm.**

Trước tiên chứng minh bằng quy nạp rằng $0<a_n<1$ với mọi $n$.

- Với $n=1$: $a_1=\frac{1}{2}\in (0;1)$.
- Giả sử $0<a_n<1$. Khi đó $a_n^2-a_n+1={\left(a_n-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$, nên $a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1}$ xác định và $a_{n+1}>0$. Mặt khác vì $a_n^2-a_n+1>a_n^2$ (do $1-a_n>0$) nên $a_{n+1}<1$. Vậy $0<a_{n+1}<1$.

Do đó $0<a_n<1$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Xét hiệu:
$$a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1}-a_n=\frac{a_n^2-a_n(a_n^2-a_n+1)}{a_n^2-a_n+1}=\frac{-a_n(a_n-1{)}^2}{a_n^2-a_n+1}.$$ Vì $a_n>0$, $(a_n-1{)}^2>0$ và $a_n^2-a_n+1>0$ nên $a_{n+1}-a_n<0$ với mọi $n$. Vậy $(a_n)$ là dãy số giảm. $■$

**b) Tính $\lim b_n$.**

Đặt $d_n=\frac{1-a_n}{a_n}=\frac{1}{a_n}-1$ (với $a_n\in (0;1)$ nên $d_n>0$). Khi đó:
$$d_{n+1}=\frac{1-a_{n+1}}{a_{n+1}}=\frac{(a_n^2-a_n+1)-a_n^2}{a_n^2}=\frac{1-a_n}{a_n^2}=\frac{d_n}{a_n}=d_n(1+d_n)=d_n+d_n^2.$$ Suy ra:
$$\frac{1}{d_{n+1}}=\frac{1}{d_n(1+d_n)}=\frac{1}{d_n}-\frac{1}{1+d_n}⟹\frac{1}{1+d_n}=\frac{1}{d_n}-\frac{1}{d_{n+1}}.$$ Mà $\frac{1}{1+d_n}=a_n$, nên ta có công thức truy hồi đẹp:
$$a_n=\frac{1}{d_n}-\frac{1}{d_{n+1}}.$$ Do đó:
$$b_n=a_1+a_2+\cdots +a_n=\left(\frac{1}{d_1}-\frac{1}{d_2}\right)+\left(\frac{1}{d_2}-\frac{1}{d_3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{d_n}-\frac{1}{d_{n+1}}\right)=\frac{1}{d_1}-\frac{1}{d_{n+1}}.$$ Vì $d_1=\frac{1-a_1}{a_1}=1$ nên $b_n=1-\frac{1}{d_{n+1}}$.

Dãy $(d_n)$ tăng ngặt và không bị chặn trên (vì $d_{n+1}=d_n+d_n^2>d_n$ với $d_n>0$, và nếu bị chặn thì tồn tại giới hạn $L\ge 1$ thỏa $L=L+L^2$, vô lý), do đó $d_n\to +\infty$ và $\frac{1}{d_{n+1}}\to 0$.

Vậy:
$$\lim b_n=1-0=1.$$

**Kiểm tra:** $a_1=\frac{1}{2},a_2=\frac{1}{3},a_3=\frac{1}{7},a_4=\frac{1}{43}$; tổng $\approx 0,9994\to 1$. Kết quả đúng.