Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi: $$\{\begin{array}{l}{a}_0=2027\\ a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n+1},\forall n\in \mathbb{N}.\end{array}$$
a) Chứng minh rằng dãy số $(a_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Xét dãy số $(b_n)$ xác định bởi: $b_n=\sum _{i=0}^n\frac{a_i}{a_i+1}$, $\forall n\in \mathbb{N}$. Tìm tất cả các số tự nhiên $m$ sao cho tồn tại $n\in \mathbb{N}$ để $\left[b_n\right]=m$ (trong đó, $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$).

a) Để ý $a_n>0$ với mọi số tự nhiên $n$.

Mặt khác, $a_n-a_{n+1}=a_n-\frac{a_n^2}{a_n+1}=\frac{a_n}{a_n+1}>0$ với mọi $n$ nên dãy $(a_n)$ giảm ngặt.

Vì $(a_n)$ là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0, nên tồn tại giới hạn hữu hạn $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=L\ge 0$.

Cho $n\to \infty$ trong hệ thức truy hồi, ta được $L=\frac{L^2}{L+1}$.

Suy ra $L(L+1)=L^2$, hay $L=0$. Do đó $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$.

b) Từ đẳng thức ở trên, với mọi $i\in \mathbb{N}$ ta có $\frac{a_i}{a_i+1}=a_i-a_{i+1}$.

Vì thế với mọi $n$ thì $b_n=\sum _{i=0}^n(a_i-a_{i+1})=a_0-a_{n+1}=2027-a_{n+1}$.

Do $a_{n+1}>0$ nên $b_n<2027$ với mọi $n$. Hơn thế nữa $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=2027$ do $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$.

Ngoài ra $b_{n+1}-b_n=\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}+1}$ nên $0<b_{n+1}-b_n<1$.

Trước hết, $b_0=\frac{2027}{2028}\in (0,1)$ nên $[b_0]=0$.

Xét một số nguyên $m\in \{1,2,\dots ,2026\}$. Vì $b_n\to 2027>m$ nên tồn tại $n$ sao cho $b_n\ge m$.

Gọi $n$ là chỉ số nhỏ nhất có tính chất đó. Khi ấy $b_{n-1}<m\le b_n$.

Mặt khác, $b_n=b_{n-1}+(b_n-b_{n-1})<b_{n-1}+1<m+1$.

Do đó $m\le b_n<m+1$ suy ra $[b_n]=m$.

Ngược lại, vì $0<b_n<2027$ nên $[b_n]$ chỉ có thể thuộc tập $\{0,1,\dots ,2026\}$.

Vậy tất cả số tự nhiên $m$ thoả mãn là $m\in \{0,1,\dots ,2026\}$.