Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ biết rằng: Tồn tại các đa thức $f_1(x),f_2(x),...,f_n(x),g(x)$ với hệ số nguyên, khác hằng (không nhất thiết phân biệt) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
i) Đa thức $g(x)$ chia hết cho $x^2+1$;
ii) $\prod _{i=1}^n\left(f_i(x{)}^2-1\right)=g(x{)}^2-1,\forall x\in \mathbb{R}$.

Ta sẽ chứng minh rằng các số nguyên dương $n$ thỏa mãn bài toán là các số lẻ.

(1) Chứng minh $n$ là số lẻ:

Đầu tiên ta có $g(i)=0$ với $i$ là số phức thỏa mãn $i^2=-1$.

Vì ${\prod }_{j=1}^n\left(f_j(x{)}^2-1\right)=g(x{)}^2-1,\forall x\in \mathbb{R}$ và hai vế là đa thức nên điều này cũng đúng với mọi $x\in \mathbb{C}$.

Thay $x=i$, ta có ${\prod }_{j=1}^n\left(f_j(i{)}^2-1\right)=-1$.

Với $j\in \{1,2,\dots ,n\}$, đặt $f_j(i)=z_j\in \mathbb{Z}[i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$.

Với mỗi số phức $z=a+bi$, xét $N(z)=a^2+b^2$ là chuẩn của $z$.

Khi đó ${\prod }_{j=1}^n\left(z_j^2-1\right)=-1$ nên ${\prod }_{j=1}^{n}N\left(z_j^2-1\right)=N(-1)=1$.

Vì $z_j\in \mathbb{Z}[x]$ nên $N\left(z_j^2-1\right)$ là số nguyên dương hay $N\left(z_j^2-1\right)=1$ với $j=1,2,\dots ,n$.

Khi đó $z_j^2-1\in \{1,-1,i,-i\}$, xét từng trường hợp và để ý $N\left(z_j^2\right)=N(z_j{)}^2$ là số chính phương để suy ra $z_j=0$ với mọi $j=1,2,\dots ,n$.

Vì vậy $-1={\prod }_{j=1}^n\left(z_j^2-1\right)=(-1{)}^n$ nên $n$ là số lẻ.

(2) Chứng minh $n$ lẻ thỏa mãn:

Ta có đẳng thức: $(4t^3-3t{)}^2-1=(t^2-1){\left((2t{)}^2-1\right)}^2$.

Xét dãy đa thức $(P_k{)}_{k\ge 0}$ được xác định bởi $P_0(x)=x^2+1$ và

$$P_{k+1}(x)=4P_k(x{)}^3-3P_k(x)\forall k\ge 0.$$

Thay $t=P_k(x)$, ta được:

$$P_{k+1}(x{)}^2-1=\left(P_k(x{)}^2-1\right){\left((2P_k(x){)}^2-1\right)}^2.$$

Vì $n$ là số lẻ nên tồn tại số nguyên dương $m$ sao cho $n=2m+1$.

Đặt $g(x)=P_m(x)$, $f_1(x)=P_0(x)=x^2+1$ và với mỗi $k=0,1,\dots ,m-1$, đặt:

$$f_{2k+2}(x)=f_{2k+3}(x)=2P_k(x).$$

Khi đó, áp dụng liên tiếp đẳng thức phía trên, ta có:

$$g(x{)}^2-1=P_m(x{)}^2-1=\left(P_0(x{)}^2-1\right)\prod _{k=0}^{m-1}{\left((2P_k(x){)}^2-1\right)}^2=\prod _{j=1}^n\left(f_j(x{)}^2-1\right).$$

Mặt khác, $P_0(i)=0$. Nếu $P_k(i)=0$ thì: $P_{k+1}(i)=4P_k(i{)}^3-3P_k(i)=0$.

Do đó, theo quy nạp, $P_k(i)=0$ với mọi $k\ge 0$ nên $g(i)=0$ hay $g(x)$ chia hết cho $x^2+1$.

Vậy với mọi số lẻ $n$, tồn tại các đa thức khác hằng $f_1,f_2,\dots ,f_n,g\in \mathbb{Z}[x]$ thỏa mãn:

$$\prod _{j=1}^n\left(f_j(x{)}^2-1\right)=g(x{)}^2-1\text{vaˋ}g(i)=0.$$

Vậy tất cả số nguyên dương $n$ cần tìm là các số lẻ.