Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=\frac{1}{2}$ và $u_{n+1}=\frac{3-u_n^2}{2}$ với mọi số nguyên dương $n$. Chứng minh $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Ta chứng minh bằng quy nạp rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $0<u_{2n-1}<1<u_{2n}<\frac{3}{2}$.

Với $n=1$, ta có $u_1=\frac{1}{2}$ và $u_2=\frac{3-u_1^2}{2}=\frac{11}{8}$, nên khẳng định đúng.

Giả sử $0<u_{2n-1}<1$. Khi đó $1<\frac{3-u_{2n-1}^2}{2}<\frac{3}{2}$, nên $1<u_{2n}<\frac{3}{2}$.

Tiếp theo, từ $1<u_{2n}<\frac{3}{2}$ suy ra $0<\frac{3-u_{2n}^2}{2}<1$, nên $0<u_{2n+1}<1$.

Do đó, theo nguyên lý quy nạp, $0<u_{2n-1}<1<u_{2n}<\frac{3}{2}$ với mọi $n\ge 1$.

Mặt khác, ta có $u_{n+2}-u_n=\frac{3-u_{n+1}^2}{2}-u_n=\frac{3-{\left(\frac{3-u_n^2}{2}\right)}^2}{2}-u_n=\frac{(1-u_n{)}^3(u_n+3)}{8}$.

Nếu $n$ lẻ thì $0<u_n<1$, do đó $u_{n+2}-u_n>0$. Suy ra dãy $(u_{2n-1})$ tăng. Lại có $u_{2n-1}<1$, nên $(u_{2n-1})$ bị chặn trên. Vì thế tồn tại $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_{2n-1}=a$ với $a\le 1$.

Nếu $n$ chẵn thì $u_n>1$, do đó $u_{n+2}-u_n<0$. Suy ra dãy $(u_{2n})$ giảm. Lại có $u_{2n}>1$, nên $(u_{2n})$ bị chặn dưới. Vì thế tồn tại $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_{2n}=b$ với $b\ge 1$.

Từ $u_{2n}=\frac{3-u_{2n-1}^2}{2}$ và $u_{2n+1}=\frac{3-u_{2n}^2}{2}$, cho $n\to \infty$, ta được $b=\frac{3-a^2}{2}$ và $a=\frac{3-b^2}{2}$. Lấy hai đẳng thức trừ nhau, ta có

$$b-a=\frac{b^2-a^2}{2}=\frac{(b-a)(a+b)}{2},$$

suy ra $(b-a)(2-a-b)=0$.
Nếu $a=b$ thì do $a\le 1\le b$, ta có $a=b=1$.
Nếu $a+b=2$, thay $b=2-a$ vào $b=\frac{3-a^2}{2}$, ta được $2-a=\frac{3-a^2}{2}$, hay $(a-1{)}^2=0$ nên $a=b=1$.

Vậy $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_{2n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_{2n}=1$, do đó $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=1$.