Cho dãy số $(x_n)$ xác định như sau: $x_0=34$ và $x_n=\frac{x_{n-1}^3+26x_{n-1}+16}{x_{n-1}^2-x_{n-1}+34}$ với mọi $n\ge 1$.

Với mỗi $n\ge 0$, đặt $y_n=\frac{1}{x_0^2+30}+\frac{1}{x_1^2+30}+\cdots +\frac{1}{x_n^2+30}$. Chứng minh rằng dãy số $(y_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Chú ý rằng công thức xác định $x_n$ có thể được viết lại thành $$x_n-4=\frac{x_{n-1}^3+26x_{n-1}+16}{x_{n-1}^2-x_{n-1}+34}-4=\frac{x_{n-1}^3-4x_{n-1}^2+30x_{n-1}-120}{x_{n-1}^2-x_{n-1}+34}=\frac{(x_{n-1}-4)(x_{n-1}^2+30)}{(x_{n-1}^2+30)-(x_{n-1}-4)}.$$ (1 điểm)

Bằng quy nạp, ta có ngay $x_n>4$ với mọi $n$. Hơn nữa, $$\frac{1}{x_n-4}=\frac{1}{x_{n-1}-4}-\frac{1}{x_{n-1}^2+30}.$$ (1 điểm)

Từ đó, một mặt, ta có $\frac{1}{x_{n-1}-4}>\frac{1}{x_n-4}$ nên $x_{n-1}<x_n$, hay $(x_n)$ là dãy tăng. Hơn nữa ta phải có $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=+\infty$. (Nếu giới hạn của dãy này là hữu hạn thì chuyển hệ thức trên qua giới hạn ta có ngay điều vô lý.) (1 điểm)

Mặt khác, công thức trên đây dẫn đến $$y_n=\frac{1}{x_0-4}-\frac{1}{x_{n+1}-4}.$$ Từ đó, ta suy ra dãy $(y_n)$ có giới hạn và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n=\frac{1}{x_0-4}=\frac{1}{30}$. (1 điểm)