Xét số nguyên $n\ge 3$. Ký hiệu $1=a_1<\dots <a_k=n-1$ là tất cả các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$. Đặt $f(n)$ là ước chung lớn nhất của các số $a_1^3-1,\dots ,a_k^3-1$. Tìm tất cả các số nguyên $n$ sao cho $f(n)=2$.

Gọi các số dạng $a_i^3-1$ là số đặc biệt. Chú ý rằng nếu $n$ là số lẻ thì $2^3-1=7$ là đặc biệt nên $f(n)\mid 7$, chứng tỏ $f(n)\ne 2$. (0.5 điểm)

Với $n=4;n=6$, thử trực tiếp ta thấy không thỏa mãn.
Xét $n$ là số chẵn $\ge 8$.
Đặt $n=2^{k}m$, với $m$ lẻ và $k\ge 1$. Chú ý rằng khi này mỗi $a_i$ là số lẻ, kéo theo $2\mid f(n)$. (0.5 điểm)

• Xét $m=1$. Khi này $k\ge 3$. Chú ý rằng $3^3-1=26$ và $5^3-1=124$ là các số đặc biệt và $\gcd (26,124)=2$. Từ đó suy ra $f(n)\mid 2$ và do đó $f(n)=2$. (0.5 điểm)

• Xét $m=3$. Khi này $k\ge 2$. Chú ý rằng $5^3-1=124=4\cdot 31$, $7^3-1=342=2\cdot 9\cdot 19$ là các số đặc biệt và $\gcd (124,342)=2$.
Suy ra $f(n)=2$. (0.5 điểm)

• Xét $m\ge 5$. Dễ thấy mỗi số $m-4,m-2,m+2,m+4$ là số lẻ và nguyên tố cùng nhau với $m$ nên chúng nguyên tố với $2^{k}m$. Hơn nữa hiển nhiên chúng nhỏ hơn $2m\le 2^{k}m$.
Do đó $(m-4{)}^3-1$, $(m-2{)}^3-1$, $(m+2{)}^3-1$, $(m+4{)}^3-1$ là các số đặc biệt. Vì $f(n)$ là ước của mỗi số này nên
$f(n)\mid ((m+4{)}^3-1)+((m-4{)}^3-1)-((m+2{)}^3-1)-((m-2{)}^3-1)=72m$.
Để ý một trong hai số $m+2,m+4$ không chia 3 dư 1, nên một trong hai số $(m+2{)}^3-1$, $(m+4{)}^3-1$ không chia hết cho 3, chứng tỏ $3\nmid f(n)$. Tương tự, chú ý rằng $(m+2{)}^2\equiv (m+4{)}^2\equiv 1(\mathrm{mod}4)$, kéo theo $(m+2{)}^3-1\equiv (m+2)-1=m+1$, $(m+4{)}^3-1\equiv m+4-1=m+3(\mathrm{mod}4)$ và một trong hai số $m+1,m+3$ không chia hết cho 4 vì thế $4\nmid f(n)$.
Từ đó suy ra $f(n)\mid 2m$. (1 điểm)

Giả sử $f(n)$ có một ước nguyên tố $p$ lẻ nào đó.
Khi đó $p\mid m$. Khi này từ $p\mid m$ và $p\mid f(n)\mid (m+2{)}^3-1$ ta có $p\mid 7$, kéo theo $p=7$. Tương tự, từ $p\mid m$ và $p\mid (m-2{)}^3-1$ ta có $p\mid 9$, kéo theo $p=3$, mâu thuẫn.
Suy ra: $f(n)$ không thể có ước nguyên tố lẻ. Vì thế $f(n)\mid 2$ và do đó $f(n)=2$.
Vậy, các số $n$ cần tìm là tất cả các số chẵn $\ge 8$. (1 điểm)