Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $B,C$ cố định nằm trên đường tròn đó sao cho dây $BC$ không là đường kính. Gọi $N$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$ của $(O)$. Lấy điểm $A$ di động trên cung lớn $BC$ của $(O)$ sao cho $AB<AC$ và $ABC$ là tam giác nhọn. Gọi $(I)$ là đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ và $D$ là tiếp điểm của $(I)$ với $BC$. Gọi $(O_a)$ là đường tròn tiếp xúc với $AB$, $AC$ và tiếp xúc trong với $(O)$ tại $T$.
a) Gọi giao điểm của đường thẳng $AT$ và đường tròn $(I)$ là $R$ và $S$ sao cho $AS<AR$. Chứng minh rằng tỉ số $\frac{RA}{RT}$ luôn có giá trị không đổi.
b) Đường thẳng $TD$ cắt lại $(O)$ tại $X$. Đường thẳng $XI$ cắt $AT$ tại $L$ và cắt lại $(O)$ tại $U$. Đường thẳng qua $I$ và song song với $BC$ cắt đường thẳng $UT$ tại $W$. Đường thẳng $NL$ cắt lại $(O)$ tại $Y$. Chứng minh rằng đường thẳng $WY$ luôn đi qua một điểm cố định.

a) Ta thấy rằng $\frac{RT}{RA}=\frac{AT}{AR}-1$ do đó chỉ cần chứng minh $\frac{AT}{AR}$ cố định là đủ. Mà cũng thấy rằng $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(I)$ và $(O_a)$ do đó $A$ là tâm vị tự của hai đường tròn đó, hơn nữa với vị trí của $R$ thì ta cũng có
$$\frac{AT}{AR}=\frac{R_{(O_a)}}{R_{(I)}}.$$
Mặt khác, nếu gọi $G,H$ là tiếp điểm của $(O_a)$ với $AB,AC$ thì theo Sawayamar - Thebault ta có $I$ là trung điểm $GH$ và nếu gọi $J$ là tiếp điểm của $(I)$ với $AC$ thì từ đó theo các hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có được
$$\frac{R_{(O_a)}}{R_{(I)}}=\frac{IH}{IJ}=\frac{AH}{AI}=\frac{1}{\cos \frac{\angle A}{2}}$$
là một giá trị cố định khi $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$ của $(O)$. $\square$

b) Gọi $M$ là điểm chính giữa cung $BAC$ của $(O)$. Ta chứng minh $WY$ đi qua $M$ cố định.
Theo tính chất đường tròn Mixtilinear thì ta có $AX\parallel BC$. $E$ là giao điểm $WI$ và $AT$, $F$ là giao điểm khác $N$ của $NE$ với $(O)$. Trước hết ta có
$$(EI,EF)\equiv (BC,NF)\equiv (BC,BN)+(BN,NF)\equiv (AN,AB)+(AB,AF)\equiv (AI,AF)(\mathrm{mod}\pi )$$
Do đó $A,F,I,E$ đồng viên. Gọi $U^{\prime }$ là giao điểm khác $M$ của $ME$ với $(O)$, tương tự như trên thì $I,E,U^{\prime },T$ đồng viên. Chú ý rằng $TM$ là phân giác $\angle ATX$ nên ta có
$$(U^{\prime }E,U^{\prime }I)\equiv (TE,TI)\equiv (U^{\prime }M,U^{\prime }X)(\mathrm{mod}\pi )$$
Khi đó $U^{\prime },I,E$ thẳng hàng hay $U^{\prime }\equiv U$. Tương tự, lấy $R_1\in (O)$ sao cho $T{R}_1\parallel BC$ thì $R_1,I,F$ thẳng hàng. Xét trục đẳng phương đối một ba đường tròn $(O),(AFEI),(EIUT)$ thì $AF,EI,UT$ đồng quy tại $W$. Lại gọi $W^{\prime }$ là giao điểm $MY$ với $UT$, $S_1$ là giao $NF,MT$ thì theo định lý Pascal cho bộ $\left(\begin{array}{ccc}M& A& N\\ F& Y& T\end{array}\right)$ thì $W^{\prime },L,S_1$ thẳng hàng. Xét tứ giác toàn phần $UTIE.MW$ thì
$$W(IT,LM)=-1=F(RT,NM)=(IT,SM)=W(IT,S_{1}M)$$
Khi đó $W,L,S_1$ thẳng hàng nên $W\equiv W^{\prime }$. Từ đây ta có điều phải chứng minh. $\square$