Ty có 200 viên bi xanh và 200 viên bi đỏ. Ty bốc ra $a$ viên bi xanh đưa cho Bình và bốc ra $b$ viên bi đỏ đưa cho Ngọ, trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $1\le b<a\le 200$. Hai bạn Bình và Ngọ sẽ sử dụng những viên bi đó để cùng chơi một trò chơi như sau: Trên bảng ô vuông $100\times 100$, Bình chơi trước và đặt $a$ viên bi xanh vào $a$ ô vuông bất kì của bảng sao cho ở mỗi ô chỉ được đặt đúng một viên bi, sau đó Ngọ đặt $b$ viên bi đỏ vào $b$ ô vuông bất kì trong các ô còn lại của bảng sao cho ở mỗi ô chỉ được đặt đúng một viên bi. Bình thắng nếu có một đường đi bắt đầu từ ô dưới cùng bên trái và kết thúc ở ô trên cùng bên phải mà không đi qua những ô đã có viên bi đỏ (một đường đi là dãy các ô vuông liên tiếp nhau sao cho hai ô liên tiếp có chung một cạnh). Trong trường hợp ngược lại, Ngọ thắng.
a) Với $a=199$ và $b=100$, chứng minh rằng Bình là người có chiến thuật thắng.
b) Với $a=197$ và $b=99$, chứng minh rằng Ngọ là người có chiến thuật thắng.
c) Tìm số lượng tất cả các cặp $(a,b)$, với $1\le b<a\le 200$, để Bình là người có chiến thuật thắng.

Ta đánh số cho các hàng, cột của bảng từ dưới lên trên, từ trái qua phải bởi các số tự nhiên từ 1 đến 100 và ô nằm ở hàng thứ $i$, cột thứ $j$ được kí hiệu là ô $(i,j)$. Một đường chéo được nhắc đến trong lời giải dưới đây là tập hợp các ô có dạng $(x,y)$ của bảng mà $x+y=k$ với $k\ge 2$ cố định.

a) Khi mà $a=199$, Bình có thể đặt 199 viên bi đỏ này trên một đường đi từ ô dưới cùng bên trái (cụ thể, Bình có thể đặt vào các ô $(1,t)$ và $(t,100)$ với $t=\overline{1,100}$). Khi này, dù Ngọ có đặt thế nào thì luôn đảm bảo có một đường đi không có bi đỏ, như vậy Bình thắng.

b) Xét một ô $(x,y)$ bất kì thì ta thấy rằng $2\le x+y\le 200$ do đó có tổng cộng 198 đường chéo không kể đường chéo $x+y=101$, song Bình chỉ có 197 viên bi, do đó phải có một đường chéo $X$ mà không có viên bi xanh nào sau lượt của Bình.
Để ý rằng phương trình $x+y=k$ với $k=\overline{2,200}$ với $k\ne 101$ và $1\le x,y\le 100$ có tối đa 99 nghiệm, nên Ngọ hoàn toàn có đủ bi để đặt lên hết đường chéo $X$ đó. Nếu đường chéo $X$ là đường chéo $x+y=2$ hay $x+y=200$ thì hiển nhiên không có đường đi, còn lại đường chéo $X$ chia bảng làm hai phần và từ một ô của phần này không thể có đường đi đến ô của phần còn lại nếu không đi qua một ô của đường chéo, do đó, không còn đường đi nào từ $(1,1)$ đến $(100,100)$ mà không có bi đỏ, hay Ngọ thắng.

c) Từ ý tưởng của câu b và câu a, ta thấy rằng nếu $a=200$ hay $a=199$ thì Bình có thể đặt ngay một đường đi từ $(1,1)$ đến $(100,100)$ do đó Bình thắng với mọi giá trị khác của $b$. Ta xét $a\le 198$, nếu $a<2b$, khi này ta xét $2b$ các đường chéo $x+y=k$ với $k=\overline{1,b}$ và $k=\overline{200-b+1,200}$ thì ta có thể thấy rằng các đường chéo này có tối đa $b$ ô của bảng, mà do $a<2b$ nên sẽ có một trong các đường chéo đó không có viên bi xanh nào và Ngọ chỉ cần đặt bi đỏ lên tất cả các ô của đường chéo đó thì Ngọ sẽ thắng.
Do đó, để Bình thắng thì ta phải có $a\ge 2b$, ta sẽ chứng minh nếu $a\ge 2b$ (khi này phải có $b\le 99$ vì $a\le 198$) thì Bình sẽ có chiến thuật chiến thắng. Thật vậy, rõ ràng ta chỉ cần làm với $a=2b$ là đủ vì khi đó $a>2b$ thì chiến thuật đặt cũng sẽ tương tự. Với $a=2b$ thì chiến thuật của Bình sẽ là đặt $2b$ viên bi lên các ô $(1,t)$ và $(100,100-t+1)$ với $t=\overline{1,b}$. Khi này, ta định nghĩa một đường đi vuông từ $(a,b)$ đến $(c,d)$ với $a<c$ và $b<d$ là một đường đi từ $(a,b)$ qua các ô $(a+1,b),(a+2,b),\dots ,(c,b),(c,b+1),\dots ,(c,d)$. Ta xét $b+1$ đường đi gồm $b$ đường đi vuông từ $(1,t)\to (100-t+1)$ (với $t=\overline{1,b}$) và đường đi từ $(1,1)$ đến $(100,100)$ sát dọc theo hai cạnh dưới và bên phải của bảng thì ta thấy rằng $b+1$ đường đi này có các ô chưa được đặt bi là rời nhau, do đó để Ngọ không thể chặn cả $b+1$ đường đi này được, và do đó, ta thấy rằng luôn có đường đi cho Bình.
Vậy, tất cả cặp $(a,b)$ để Bình có chiến thuật thắng là $1⩽b<2b⩽a⩽198$ và $a=200,199$ và $b=\overline{1,a-1}$. Với $a=200$ thì có 199 giá trị $b$ thỏa còn với $a=199$ thì có 198 giá trị $b$ thỏa. Với $a\le 198$ thì cố định $b\le 99$ cho trước thì có $198-2b+1$ giá trị $a$ thỏa mãn $2b\le a\le 198$. Vậy, tổng số cặp $(a,b)$ thỏa mãn là
$$199+198+\sum _{b=1}^{99}(199-2b)=199\cdot 101-99\cdot 100-1=10198.$$
$\square$