Cho $f(x)$ là hàm số bậc ba. Hàm số $f^{\prime }(x)$ có đồ thị hình bên.

Hãy tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $f(e^x+1)-x=m$ có hai nghiệm thực phân biệt. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xét hàm số $g(x)=f(e^x+1)-x$ trên $\mathbb{R}$. Đạo hàm $g^{\prime }(x)=e^x{f}^{\prime }(e^x+1)-1$. Với $u=e^x+1>1$, từ đồ thị của $f^{\prime }(x)$ (parabol đi qua $(0;1)$ và đỉnh tại $(1;1/2)$, $f^{\prime }(2)=1$), ta có $f^{\prime }(u)\ge 1$ với mọi $u\ge 2$ ($x\ge 0$). Tại $x=0$, $u=2\Rightarrow g^{\prime }(0)=1\cdot f^{\prime }(2)-1=1-1=0$. Bảng biến thiên của $g(x)$ cho thấy $g(x)$ đạt cực tiểu tại $x=0$ với giá trị cực tiểu $g(0)=f(2)$. Khi $x\to \pm \infty$ thì $g(x)\to +\infty$. Do đó phương trình $g(x)=m$ có đúng hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $m>g(0)=f(2)$. Chọn B.