Cho hai hàm số $f(x)=a{x}^3-11x^2+cx-33$ và $g(x)=-3x^2+bx-25$ có dạng đồ thị như hình vẽ. Biết rằng $x_1$, $x_2$, $x_3$ dương



Khi biểu thức $P={\log }_{\frac{1}{2}}\left[a^3(c-b)\right]+3a(b-c)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $T=81a^2+(b-c{)}^2$

Đáp số 384

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ là
$$a{x}^3-11x^2+cx-33=-3x^2+bx-25\iff a{x}^3-8x^2+(c-b)x-8=0(\ast )$$

Dựa vào đồ thị ta có $a>0$ và phương trình $(\ast )$ có 3 nghiệm dương $x_1,x_2,x_3.$

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=\frac{8}{a}\\ x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=\frac{c-b}{a}\\ x_1{x}_2{x}_3=\frac{8}{a}\end{array}.$

+ Mà $x_1{x}_2{x}_3\le {\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\right)}^3\iff \frac{8}{a}\le \frac{{\left(\frac{8}{a}\right)}^3}{27}\iff 27\le {\left(\frac{8}{a}\right)}^2\Rightarrow 0<a\le \frac{8\sqrt{3}}{9}.$

+ $x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1\le \frac{(x_1+x_2+x_3{)}^2}{3}\iff \frac{c-b}{a}\le \frac{64}{3a^2}\iff a(c-b)\le \frac{64}{3}.$

Khi đó: $P={\log }_{\frac{1}{2}}\left[a^3(c-b)\right]+3a(b-c)\ge {\log }_{\frac{1}{2}}\left(\frac{64a^2}{3}\right)-64=-70+{\log }_{2}3-{\log }_2{a}^2$.

Có $0<a^2\le \frac{64}{27}\iff {\log }_2{a}^2\le {\log }_2\frac{64}{27}\iff {\log }_2{a}^2\le 6-3{\log }_{2}3$

Suy ra $P\ge 4{\log }_{2}3-76$

Đẳng thức xảy ra $\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{8\sqrt{3}}{9}\\ c-b=8\sqrt{3}\end{array}$. Khi đó $T=81a^2+(b-c{)}^2=384$