Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ có tâm lần lượt là $O$ và $O^{\prime }$, không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi $M$ là trung điểm $AB$, xét các khẳng định
$(I):(ADF)\parallel (BCE)$; $(II):(MO{O}^{\prime })\parallel (ADF)$; $(III):(MO{O}^{\prime })\parallel (BCE)$; $(IV):(ACE)\parallel (BDF)$. Những khẳng định nào đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ $$\begin{gathered} vecAB= \\ vecb \end{gathered}$$, $$\begin{gathered} vecAD= \\ vecd \end{gathered}$$, $$\begin{gathered} vecAE= \\ vece \end{gathered}$$. Vì $ABCD$, $ABEF$ là hình bình hành nên $$\begin{gathered} vecAC= \\ vecb+ \\ vecd \end{gathered}$$, $$\begin{gathered} vecAF= \\ vece- \\ vecb \end{gathered}$$; tâm $$\begin{gathered} O= \\ dfrac \\ vecb+ \\ vecd2 \end{gathered}$$, $$\begin{gathered} O^{\prime }= \\ dfrac \\ vece2 \end{gathered}$$, $$\begin{gathered} M= \\ dfrac \\ vecb2 \end{gathered}$$.

$(I)$: $$\begin{gathered} vecAD= \\ vecd= \\ vecBC \end{gathered}$$ và $$\begin{gathered} vecAF= \\ vece- \\ vecb= \\ vecBE \end{gathered}$$, hai mặt phẳng không trùng nhau (do $ABCD$, $ABEF$ không cùng mặt phẳng) nên $$\begin{gathered} (ADF) \\ parallel(BCE) \end{gathered}$$. Đúng.

$(II)$: $$\begin{gathered} vecMO= \\ dfrac \\ vecd2 \\ parallelAD \end{gathered}$$ và $$\begin{gathered} vecM{O}^{\prime }= \\ dfrac \\ vece- \\ vecb2 \\ parallelAF \end{gathered}$$, mà $AD,AF$ nằm trong $(ADF)$, nên $$\begin{gathered} (MO{O}^{\prime }) \\ parallel(ADF) \end{gathered}$$. Đúng.

$(III)$: $$\begin{gathered} vecMO \\ parallelBC \end{gathered}$$ và $$\begin{gathered} vecM{O}^{\prime } \\ parallelBE \end{gathered}$$ với $$\begin{gathered} BC,BE \\ subset(BCE) \end{gathered}$$, nên $$\begin{gathered} (MO{O}^{\prime }) \\ parallel(BCE) \end{gathered}$$. Đúng.

$(IV)$: $(ACE)$ có hệ chỉ hướng $$\begin{gathered} vecb+ \\ vecd, \\ vece \end{gathered}$$; $(BDF)$ có hệ chỉ hướng $$\begin{gathered} vecd- \\ vecb, \\ vece-2 \\ vecb \end{gathered}$$. Không thể biểu diễn $$\begin{gathered} vecb+ \\ vecd \end{gathered}$$ theo $$\begin{gathered} vecd- \\ vecb \end{gathered}$$ và $$\begin{gathered} vece-2 \\ vecb \end{gathered}$$ (so sánh hệ số theo $vece$ cho $beta=0$, khi đó $$\begin{gathered} vecb+ \\ vecd= \\ alpha( \\ vecd- \\ vecb) \end{gathered}$$ vô nghiệm), nên $(IV)$ sai.

Vậy các khẳng định đúng là $(I),(II),(III)$ → đáp án C.