Cho hai số phức $z,w$ thỏa mãn $|z|=7,|w|=7$ và $|3z-4w|=35$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $|4z+3w+2022i|$ bằng

Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức $z$, gọi $N$ là điểm biểu diễn số phức $w$.

Theo đề $|z|=7\Rightarrow OM=7$, $|w|=7\Rightarrow ON=7$.

Theo đề $|3z-4w|=35\Rightarrow |3\overrightarrow{OM}-4\overrightarrow{ON}|=35\Rightarrow (3\overrightarrow{OM}-4\overrightarrow{ON}{)}^2=1225$

$\Rightarrow 9O{M}^2+16O{N}^2-24\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=1225\Rightarrow 9\cdot 7^2+16\cdot 7^2-24\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=1225\Rightarrow 24\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=0$.

Gọi $A$ là điểm biểu diễn số phức $v=2022i\Rightarrow A(0;2022)$, suy ra $|\overrightarrow{OA}|=|v|=2022$.

Ta có $|4z+3w+2022i|=|4\overrightarrow{OM}+3\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OA}|\le |4\overrightarrow{OM}+3\overrightarrow{ON}|+|\overrightarrow{OA}|=|4\overrightarrow{OM}+3\overrightarrow{ON}|+2022$ $(\ast )$.

Ta có $(|4\overrightarrow{OM}+3\overrightarrow{ON}|{)}^2=16O{M}^2+9O{N}^2+24\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=16\cdot 7^2+9\cdot 7^2+0=1225\Rightarrow |4\overrightarrow{OM}+3\overrightarrow{ON}|=35$.

Từ $(\ast )$ suy ra $|4\overrightarrow{OM}+3\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OA}|\le 35+2022=2057$.

Vậy giá trị lớn nhất của $|4z+3w+2022i|$ là $2057$.