Cho hai số thực a, b thỏa mãn a \ge 1, b \ge 1 và ab \le 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = log 2 a 2 + log 2b 2 + log 4 2 .
ab
9 19 5

1 1 1
Ta có P = log 2 a 2 + log 2b 2 + log 4 2 = + + .
ab 1 + log 2 a 1 + log 2 b 2 - log 2 a - log 2 b
x = log 2 a x, y \ge 0 1 1 1 2+ x+ y 1
Đặt ta được và P = + + = + .
y = log 2 b x + y \le 1 1 + x 1 + y 2 - x - y 1 + x + y + xy 2 - x - y
2+ x+ y 2+ x+ y 2+ x+ y 1 2+t 1
Vì xy \ge 0 nên \le suy ra P \le + = + = g ( t ) với
1 + x + y + xy 1 + x + y 1+ x + y 2 - x - y 1+ t 2 - t
t = x + y, 0 \le t \le 1 .
1 1 1 5 (1) 7
Ta có g ^\prime ( t ) = - + và g ^\prime ( t ) = 0 \iff t = , đồng thời g ( 0 ) = g (1) = ; g ( ) = .
(1 + t ) ( t - 2 ) (2) 3
2 2
2 2
5 t = 0 a = 2 a = 1 a = 1
Vậy giá trị lớn nhất của P là , đạt được khi \iff   .
2 t = 1 b = 1 b = 2 b = 1