Cho hai số thực dương $x,y$ thỏa mãn $(x+y{)}^3+2xy+{\log }_2\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)=8(1-xy{)}^3-x-y+3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+3y$.

Điều kiện: $x,y>0$ và $1-xy>0$. Phương trình đã cho tương đương với:

$(x+y{)}^3+(x+y)+{\log }_2(x+y)={\left[2(1-xy)\right]}^3+2(1-xy)+{\log }_2\left[2(1-xy)\right]$.

Xét hàm đặc trưng $f(t)=t^3+t+{\log }_{2}t$ trên $(0;+\infty )$ có $f^{\prime }(t)=3t^2+1+\frac{1}{t\ln 2}>0,\forall t>0$, nên $f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.

Suy ra $x+y=2(1-xy)\iff y=\frac{2-x}{2x+1}$ với $x\in (0;2)$.

Khi đó $P=x+3y=x+\frac{6-3x}{2x+1}=g(x)$ trên $(0;2)$. Ta có $g^{\prime }(x)=1-\frac{15}{(2x+1{)}^2}=0\iff 2x+1=\sqrt{15}\iff x=\frac{\sqrt{15}-1}{2}\in (0;2)$.

Vậy ${\min }_{(0;2)}P=g\left(\frac{\sqrt{15}-1}{2}\right)=\sqrt{15}-2$.