Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ nhỏ hơn $2024$ để hàm số $y=-\frac{1}{3}{x}^3+x^2-mx+1$ nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty )$?

Hàm số $y=-\frac{1}{3}{x}^3+x^2-mx+1$ nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty )$ khi và chỉ khi $y^{\prime }=-x^2+2x-m\le 0,\forall x\in (0;+\infty )\iff m\ge -x^2+2x,\forall x\in (0;+\infty )$.

Xét hàm số $g(x)=-x^2+2x$ trên khoảng $(0;+\infty )$ có $g^{\prime }(x)=-2x+2=0\iff x=1$.

Bảng biến thiên:



Từ bảng biến thiên suy ra $m\ge {\max }_{(0;+\infty )}g(x)=g(1)=1$. Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ và $m<2024$, ta có $m\in \{1;2;\dots ;2023\}$, tức có $2023$ giá trị nguyên của $m$.