Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn ${\log }_{\sqrt{3}}\sqrt{y^2+8y+16}+{\log }_2[(5-x)(1+x)]=2{\log }_3\frac{5+4x-x^2}{3}+{\log }_2(2y+8{)}^2$. Gọi $S$ là tập các giá trị của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{x^2+y^2-m}$ bằng 10. Tổng các phần tử của $S$ bằng

Chọn D.
Điều kiện: $-1<x<5$ và $y\ne -4$.
Biến đổi phương trình đã cho về mối liên hệ hình học giữa $x$ và $y$:
Ta được tập hợp điểm $(x;y)$ thỏa mãn là đường tròn tâm $I(2;-4)$ bán kính $R=2\sqrt{5}$.
Giá trị $P=\sqrt{x^2+y^2-m}$ đạt GTLN bằng 10 khi và chỉ khi $\max (x^2+y^2)-m=100$.
Từ đó xác định được các giá trị của $m$ trong tập $S$, tổng các phần tử của $S$ bằng $4\sqrt{5}$.