Cho hai số phức $z,w$ thoả mãn $|z-\sqrt{5}|+|z+\sqrt{5}|=6$ và $|w+5-4i|=|w+3-3i|$. Biết giá trị nhỏ nhất của $P=|z-w|$ bằng $\frac{a\sqrt{5}+b\sqrt{2}}{10}$, với $a,b$ là các số nguyên. Tính $S=a+b$.

Chọn D.
Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là elip $(E)$ có hai tiêu điểm $F_1(-\sqrt{5};0),F_2(\sqrt{5};0)$ và $2a=6\Rightarrow a=3$, $c=\sqrt{5}\Rightarrow b=\sqrt{a^2-c^2}=2$. Phương trình $(E):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$.
Tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là đường thẳng $\Delta$:
$|w+5-4i|=|w+3-3i|\iff (x+5{)}^2+(y-4{)}^2=(x+3{)}^2+(y-3{)}^2\iff 4x-2y+23=0$.
Khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc elip $(E)$ và đường thẳng $\Delta$ đạt được tại tiếp điểm của tiếp tuyến elip song song với $\Delta :4x-2y+C=0$.
Điều kiện tiếp xúc: $a^2{A}^2+b^2{B}^2=C^2\iff 9(4^2)+4(-2{)}^2=C^2\iff 9(16)+16=160\Rightarrow C=-4\sqrt{10}$ (lấy $C$ gần $23$ nhất).
Khoảng cách là $d=\frac{|23-4\sqrt{10}|}{\sqrt{4^2+(-2{)}^2}}=\frac{23-4\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}=\frac{23\sqrt{5}-20\sqrt{2}}{10}$.
Vậy $a=23,b=-20\Rightarrow S=a+b=23+(-20)=3$.