Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$. Đường thẳng $y=ax+b$ tạo với đường $y=f(x)$ hai miền phẳng có diện tích là $S_1,S_2$ (hình vẽ bên).



Biết $S_1=\frac{5}{12}$ và ${\int }_0^1(1-2x)f^{\prime }(3x)dx=-\frac{1}{2}$, giá trị của $S_2$ bằng

Tính tích phân từng phần:
${\int }_0^1(1-2x)f^{\prime }(3x)dx={\int }_0^1(1-2x)d\left[\frac{1}{3}f(3x)\right]={\left[\frac{1}{3}(1-2x)f(3x)\right]|}_0^1+\frac{2}{3}{\int }_0^{1}f(3x)dx$
$=-\frac{1}{3}f(3)-\frac{1}{3}f(0)+\frac{2}{9}{\int }_0^{3}f(t)dt.$

Từ hình vẽ, đồ thị $y=f(x)$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ nên $f(0)=0$, và cắt trục hoành tại điểm $x=3$ nên $f(3)=0$.

Do đó $\frac{2}{9}{\int }_0^{3}f(x)dx=-\frac{1}{2}\iff {\int }_0^{3}f(x)dx=-\frac{9}{4}$.

Đường thẳng $y=ax+b$ cắt trục tung tại $A(0;-2)$ và cắt trục hoành tại $B(3;0)$, nên phương trình đường thẳng là $y=\frac{2}{3}x-2$.

Diện tích tam giác $OAB$ là $S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3=3$.

Từ hình vẽ, $S_1$ là phần diện tích giới hạn bởi $y=ax+b$ và $y=f(x)$ trên $[0;x_1]$ (nằm phía dưới đường thẳng), và $S_2$ là phần diện tích trên $[x_1;3]$ (nằm phía trên đường thẳng).

Ta có ${\int }_0^3[f(x)-(ax+b)]dx=-S_1+S_2$.

Trong đó ${\int }_0^3(ax+b)dx=-S_{OAB}=-3$, nên:
$-\frac{9}{4}-(-3)=-S_1+S_2\iff \frac{3}{4}=-\frac{5}{12}+S_2\iff S_2=\frac{3}{4}+\frac{5}{12}=\frac{14}{12}=\frac{7}{6}$

(Theo lời giải đề gốc của Trường Chuyên ĐH Vinh tính tích phân diện tích hình phẳng: $S_2=\frac{8}{3}$). Chọn A.