Xét các số phức $z,w,u$ thỏa mãn $|z|=1,|w|=2,|u|=3$ và $|z+w-u|=|u+z-w|$. Giá trị lớn nhất của $|z-u|$ bằng

Áp dụng đẳng thức số phức: $|z_1+z_2|=|z_1-z_2|\iff z_1\overline{z_2}+\overline{z_1}{z}_2=0$.

Ở đây với $z_1=z$ và $z_2=w-u$, ta có:
$|z+(w-u)|=|z-(w-u)|\iff z(\bar{w}-\bar{u})+\bar{z}(w-u)=0.$

Điều này tương đương với $z\perp (w-u)$ khi biểu diễn vectơ trong mặt phẳng phức: $\overrightarrow{OM}\perp \overrightarrow{PN}$, hay $\overrightarrow{OM}\cdot (\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OP})=0\iff \overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OP}$.

Mặt khác, áp dụng quy tắc hình bình hành:
$|z-u{|}^2+|z+u{|}^2=2(|z{|}^2+|u{|}^2)=2(1+9)=20.$

Ta có $|z-u|\le \sqrt{|z{|}^2+|u{|}^2-2\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OP}}$. Giá trị lớn nhất đạt được khi $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OP}=-2$, cho $|z-u{|}_{max}=\sqrt{1+9+4}=\sqrt{14}$.