Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$. Hàm số $g(x)=f(x+2)$ có bảng biến thiên như bên dưới. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để tập nghiệm của phương trình $\sqrt{4+m{x}^2}\cdot f[f(x)-m]=0$ có $5$ phần tử bằng

Từ bảng biến thiên của $g(x)=f(x+2)$, suy ra $f(x)=-x^3+3x^2-2$ đạt cực tiểu bằng $-2$ tại $x=0$, đạt cực đại bằng $2$ tại $x=2$, và $f(x)=0\iff x\in \{1-\sqrt{3};1;1+\sqrt{3}\}$.
Phương trình $\sqrt{4+m{x}^2}\cdot f(f(x)-m)=0$ (điều kiện $4+m{x}^2\ge 0$) tương đương $4+m{x}^2=0$ (1) hoặc $\{\begin{array}{l}4+m{x}^2>0\\ f(f(x)-m)=0\end{array}$ (2).
- Với $m=0$: (1) vô nghiệm, (2) có $3+3+1=7$ nghiệm (loại).
- Với $m>0$: (1) vô nghiệm, $4+m{x}^2>0,\forall x\in \mathbb{R}$. Để (2) có $5$ nghiệm thì $1+m>2$ và $-2<1-\sqrt{3}+m<2\iff 1<m<1+\sqrt{3}\Rightarrow m=2$ (thỏa mãn).
- Với $m<0$: (1) có $2$ nghiệm $x=\pm \frac{2}{\sqrt{-m}}$, cần (2) có đúng $3$ nghiệm thuộc $\left(-\frac{2}{\sqrt{-m}};\frac{2}{\sqrt{-m}}\right)$. Kiểm tra các giá trị nguyên $m\in \{-4;-3;-2;-1\}$ được $m=-3$ thỏa mãn.
Vậy $m\in \{2;-3\}$, tổng các giá trị nguyên của $m$ bằng $2+(-3)=-1$.