Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$ thỏa mãn $f(0)=3f(2)=-3$ và có đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình bên dưới.



Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc khoảng $(-20;20)$ để hàm số $g(x)=f[4f(x)-f^{\prime \prime }(x)+m]$ đồng biến trên khoảng $(0;1)$?

Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(x)$ đi qua các điểm $(-1;0),(0;0),(1;0)$ và là hàm bậc ba lẻ, nên $f^{\prime }(x)=4ax(x^2-1)=4a{x}^3-4ax$.
Suy ra $f(x)=a{x}^4-2a{x}^2+e$.
Theo giả thiết $f(0)=-3\Rightarrow e=-3$.
$3f(2)=-3\Rightarrow f(2)=-1\Rightarrow a(2^4)-2a(2^2)-3=-1\Rightarrow 8a=2\Rightarrow a=\frac{1}{4}$.
Vậy $f(x)=\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2-3$.
Khi đó $f^{\prime }(x)=x^3-x$, $f^{\prime \prime }(x)=3x^2-1$, $f^{\prime \prime \prime }(x)=6x$.
Đặt $u(x)=4f(x)-f^{\prime \prime }(x)+m=4\left(\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2-3\right)-(3x^2-1)+m=x^4-5x^2+m-11$.
Đạo hàm của $g(x)=f(u(x))$ là $g^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\cdot f^{\prime }(u(x))=(4x^3-10x)\cdot f^{\prime }(x^4-5x^2+m-11)$.
Với mọi $x\in (0;1)$, ta có $4x^3-10x=2x(2x^2-5)<0$ (vì $2x>0$ và $2x^2-5<-3$).
Để hàm số $g(x)$ đồng biến trên $(0;1)$ thì $g^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in (0;1)\iff f^{\prime }(u(x))\le 0,\forall x\in (0;1)$.
Từ đồ thị $f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(u)\le 0\iff [\begin{array}{l}u\le -1\\ 0\le u\le 1\end{array}$.
Do đó:
$[\begin{array}{l}{x}^4-5x^2+m-11\le -1,\forall x\in (0;1)\\ 0\le x^4-5x^2+m-11\le 1,\forall x\in (0;1)\end{array}\iff [\begin{array}{l}m-10\le -x^4+5x^2,\forall x\in (0;1)\\ \{\begin{array}{l}m-11\ge -x^4+5x^2,\forall x\in (0;1)\\ m-12\le -x^4+5x^2,\forall x\in (0;1)\end{array}\end{array}$.
Xét hàm số $h(x)=-x^4+5x^2$ trên $[0;1]$:
$h^{\prime }(x)=-4x^3+10x=2x(-2x^2+5)>0,\forall x\in (0;1)$. Do đó hàm số $h(x)$ đồng biến trên $[0;1]$.
Ta có ${\min }_{[0;1]}h(x)=h(0)=0$ và ${\max }_{[0;1]}h(x)=h(1)=4$.
Suy ra:
$[\begin{array}{l}m-10\le 0\\ \{\begin{array}{l}m-11\ge 4\\ m-12\le 0\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{l}m\le 10\\ \{\begin{array}{l}m\ge 15\\ m\le 12\end{array}\end{array}\iff m\le 10$ (hệ thứ hai vô nghiệm).
Kết hợp với $m\in (-20;20)$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta được $m\in \{-19,-18,\dots ,10\}$.
Số giá trị nguyên của $m$ là $10-(-19)+1=30$ giá trị.