Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-10;6;-2)$, $B(-5;10;-9)$ và mặt phẳng $(\alpha ):2x-2y-z+12=0$. Điểm $M(a;b;c)$ thuộc $(\alpha )$ sao cho $MA,MB$ tạo với $(\alpha )$ các góc bằng nhau và biểu thức $T=2M{A}^2-M{B}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng $a+b+c$ bằng

Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B$ trên mặt phẳng $(\alpha )$:
$AH=d(A,(\alpha ))=\frac{|2(-10)-2(6)-(-2)+12|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{|-18|}{3}=6$.
$BK=d(B,(\alpha ))=\frac{|2(-5)-2(10)-(-9)+12|}{3}=\frac{|-9|}{3}=3$.
Vì $MA,MB$ tạo với $(\alpha )$ các góc bằng nhau nên $\sin \widehat{AMH}=\sin \widehat{BMK}\Rightarrow \frac{AH}{MA}=\frac{BK}{MB}\Rightarrow MA=\frac{AH}{BK}MB=2MB$.
Ta có $MA=2MB\iff M{A}^2=4M{B}^2$
$\iff (a+10{)}^2+(b-6{)}^2+(c+2{)}^2=4[(a+5{)}^2+(b-10{)}^2+(c+9{)}^2]$
$\iff a^2+b^2+c^2+\frac{20}{3}a-\frac{68}{3}b+\frac{68}{3}c+228=0$.
Điểm $M$ thuộc mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left(-\frac{10}{3};\frac{34}{3};-\frac{34}{3}\right)$ và bán kính $R=2\sqrt{10}$.
Vì $M\in (\alpha )$ nên $M$ thuộc đường tròn $(C)$ là giao của $(S)$ và $(\alpha )$.
Hình chiếu của $I$ lên $(\alpha )$ là $J(-2;10;-12)$ và bán kính của $(C)$ là $r=\sqrt{R^2-I{J}^2}=\sqrt{40-4}=6$.
Gọi $E$ là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{EB}=\vec{0}\Rightarrow E(-15;2;5)$.
Khi đó $T=2M{A}^2-M{B}^2=2(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EA}{)}^2-(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB}{)}^2=M{E}^2+2E{A}^2-E{B}^2$.
Do $2E{A}^2-E{B}^2$ không đổi nên $T$ nhỏ nhất khi $ME$ nhỏ nhất.
Gọi $F$ là hình chiếu của $E$ lên $(\alpha )$, tìm được $F(-9;-4;2)\Rightarrow FJ=21>r=6$ nên $F$ nằm ngoài $(C)$.
Khoảng cách nhỏ nhất $F{M}_{\min }=FJ-r=21-6=15$.
Khi đó $M$ là giao điểm của đoạn thẳng $FJ$ với đường tròn $(C)$ thỏa mãn $\overrightarrow{FM}=\frac{15}{21}\overrightarrow{FJ}=\frac{5}{7}\overrightarrow{FJ}$.
Tìm được $M(-4;6;-8)\Rightarrow a=-4,b=6,c=-8\Rightarrow a+b+c=-4+6-8=-6$.